Lösung:   

Die Funktion ist stetig an der Stelle \(x_0=1\).

Erläuterung:

Wir betrachten die beiden Teilfunktionen. 

Die Teilfunktion \(f_l(x)=-x^2+\frac{|x-2|}{x-2}\) links von \(x_0=1\) ist stetig für \(x \ne 2\). Dies ergibt sich aus den Rechenregeln der Stetigkeit. \(f_l(x)\) ist also an der Stelle \(x_0=1\) definiert und der Funktionswert an dieser Stelle lautet:

\(\qquad f_l(1)=-1^2+\dfrac{|1-2|}{1-2}=-1+\dfrac{|-1|}{-1}=-1+\dfrac{1}{-1}=-1-1=-2\)

Die Teilfunktion \(f_r(x)=-\cos(x-1)-\frac{|x-1|}{x-1}\) rechts von \(x_0=1\) ist an der Stelle \(x_0=1\) nicht definiert. Der rechtsseitige Grenzwert lautet:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f_r(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\left(-\cos(x-1)-\dfrac{|x-1|}{x-1}\right)\)

Da \(x\gt1\) ist, wird der Betragsterm größer \(0\), und wir können auf die Betragsstriche verzichten. Wir erhalten dann:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f_r(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\left(-\cos(x-1)-\dfrac{|x-1|}{x-1}\right)\) \(=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\left(-\cos(x-1)-\dfrac{x-1}{x-1}\right)\)

\(\qquad \phantom{\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f_r(x)}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\left(-\cos(x-1)-1\right)\) \(=-\cos(1-1)-1=-\cos(0)-1=-1-1=-2\)

Der Funktionswert (und der linksseitige Grenzwert) und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=1\) stimmen überein. Die Funktion ist also an der Stelle \(x_0=1\) stetig.