Unstetigkeitsstellen

Stellen, in denen eine Funktion die Stetigkeitsdefinition nicht erfüllt, werden Unstetigkeitsstellen genannt.

Typische Unstetigkeitsstellen sind Sprungstellen und Stellen, an denen die Funktion oszilliert mit einer Amplitude, die nicht gegen \(0\) geht. An diesen Stellen existiert der Grenzwert der Funktion für \(x\) gegen \(x_0\) nicht.

Beispiele:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} \frac{1}{2}\cdot (x-2)^2-4 & \textsf{für} \enspace x \lt 1 \\ (x-1)^2-2 & \textsf{für} \enspace x \ge 1 \end{array}\right . \)	\(\qquad\) \(\quad\)	Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x) =\left\{\begin{array}{ll}\cos\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textsf{für} \enspace x \ne 0 \\ 0 & \textsf{für} \enspace x=0\end {array}\right .\)
\(f\) hat bei \(x_0=1\) eine Sprungstelle.		\(f\) oszilliert bei Annäherung an \(x_0=0\) mit Amplitude ungleich \(0\).

Darüber hinaus gibt es Unstetigkeitsstellen, an denen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion existieren und miteinander, aber nicht mit dem Funktionswert an dieser Stelle, übereinstimmen.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit

\(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{}x & \textsf{für} \enspace x \ne 2 \\ 1 & \textsf{für} \enspace x = 2 \end{array}\right . \)

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=2\) lauten:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)=2\)

Der Funktionswert an der Stelle \(x_0=2\) lautet \(f(2)=1\).

Es gilt also:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)\ne f(x_0)\)

Die Besonderheit dieser Unstetigkeitsstellen ist, dass man durch das Ändern eines einzelnen Funktionswertes die Funktion an dieser Stelle in eine stetige Funktion umwandeln kann. Wir werden jetzt diese hebbaren Definitionslücken genauer betrachten.

\(\enspace\)