Lernmodul: Stetigkeit
Hebbare Unstetigkeitsstellen
Existieren an einer Unstetigkeitsstelle der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion und sind beide gleich, dann lässt sich die Funktion durch die Änderung des Funktionswertes an dieser Unstetigkeitsstelle in eine stetige Funktion umwandeln.
Definition:
Wir betrachten eine Funktion \(f\) an einer Unstetigkeitsstelle \(x_0\). Gilt
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)\)
so nennen wir die Stelle \(x_0\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} -x^2 &\textsf{für} \enspace x \lt 0 \\ 4 & \textsf{für} \enspace x = 0 \\ x^2 & \textsf{für} \enspace x \gt 0 \end{array}\right . \)
Die Funktion ist nicht stetig, da der Grenzwert \(0\) an der Stelle \(x_0=0\) nicht dem Funktionswert \(4\) an dieser Stelle entspricht.
Die Funktion besitzt an der Stelle \(x_0=0\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle, denn es gilt:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}(-x^2)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}x^2=0\)
Ändern wir den Funktionswert an der Stelle \(x_0=0\) auf \(0\) ab, so erhalten wir eine stetige Funktion. \(\qquad \tilde f(x) =\left\{ \begin{array}{} -x^2 & \textsf{für}\enspace x \lt 0 \\ 0 &\textsf{für} \enspace x = 0 \\ x^2 & \textsf{für} \enspace x \gt 0 \end{array}\right .\) \(\qquad \phantom{\tilde f(x)} =\left\{ \begin{array}{} -x^2 & \textsf{für} \enspace x \lt 0 \\ x^2 & \textsf{für}\enspace x \ge 0 \end{array}\right . \) |  |
Merke:
Das Besondere an einer hebbaren Unstetigkeitsstelle ist, dass sich die Funktion durch die Abänderung nur eines Funktionswertes (des Funktionswertes an der Unstetigkeitsstelle) in eine stetige Funktion umwandeln lässt.
\(\enspace\)