Lernmodul: Stetigkeit
Stetige Ergänzbarkeit
Häufig treten bei Funktionen – insbesondere bei gebrochen-rationalen Funktionen – Definitionslücken auf, die sich durch das Hinzufügen eines Punktes zur Funktion beheben lassen. Man sagt dann auch, dass sich die Funktion stetig ergänzen lässt.
Definition:
Existiert bei der stetigen Funktion \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) an einer Stelle \(x_0\notin D\) der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert und sind beide Grenzwerte gleich
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)=\eta\)
so kann man die Funktion \(f\) stetig ergänzen und erhält eine stetige Funktion \(\tilde f\) auf \(D \cup \{x_0\}\).
\(\qquad \tilde f: D \cup \{x_0\} \longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad \tilde f(x)=\left\{ \begin{array}{} f(x) & \textsf{für} \enspace x \in D \\ \eta & \textsf{für} \enspace x=x_0\end {array}\right . \)
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R}\setminus \{1\} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \dfrac{x^2-x}{x^3-x^2+x-1} = \dfrac{x(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}\)
Die Funktion besitzt an der Stelle \(x_0=1\) eine hebbare Lücke, denn es gilt:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{x(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}= \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{x(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}= \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac{1}{2}\)
Es ist also:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f(x)=\dfrac{1}{2}\)
Die Funktion lässt sich stetig ergänzen und man erhält die stetige Funktion \(\tilde f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch:
\(\qquad \tilde f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{x(x-1)}{(x^2+1)(x-1)} & \textsf{für} \enspace x \ne 1 \\ \\ \dfrac{1}{2} & \textsf{für} \enspace x = 1 \end{array}\right . \)
Die Funktion \(\tilde f\) lässt sich auch kurz schreiben als:
\(\qquad \tilde f(x)= \dfrac{x}{x^2+1}\)
\(\enspace\)