Beispiele stetig ergänzbarer Funktionen

Im folgenden Beispiel betrachten wir eine gebrochen-rationale Funktion mit einer hebbaren Lücke.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R}\setminus \{2\} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) =\dfrac{x^2-2x}{x-2} =\dfrac{x(x-2)}{x-2}\)

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion an der Stelle \(x_0=2\) lauten:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}\dfrac{x(x-2)}{x-2}= \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}x=2\)

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}\dfrac{x(x-2)}{x-2}= \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}x=2\)

Es ist also:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}f(x)=2\)

Die Funktion lässt sich stetig ergänzen und man erhält die stetige Funktion \(\tilde f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch:

\(\qquad \tilde f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{x(x-2)}{x-2} & \textsf{für} \enspace x \ne 2 \\ \\ 2 & \textsf{für} \enspace x = 2 \end{array}\right . \)

Die Funktion \(\tilde f\) lässt sich auch kurz schreiben als:

\(\qquad \tilde f(x)=x\)

Als weiteres Beispiel betrachten wir eine oszillierende Funktion.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) = \dfrac{2\cdot x\cdot\cos(x)}{x^3+x}= \dfrac{2\cdot x\cdot\cos(x)}{x\cdot(x^2+1)}\)

Die Funktion ist an der Stelle \(x_0=0\) nicht definiert.

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion an der Stelle \(x_0=0\) lauten:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}\dfrac{2\cdot x\cdot\cos(x)}{x\cdot(x^2+1)}\)

\(\qquad \phantom{\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)}= \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}\dfrac{2\cdot\cos(x)}{x^2+1}=\dfrac{2\cdot \cos(0)}{0^2+1}=\dfrac{2\cdot 1}{1}=2\)

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}\dfrac{2\cdot x\cdot\cos(x)}{x\cdot(x^2+1)}= \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}\dfrac{2\cdot\cos(x)}{x^2+1}=\dfrac{2\cdot \cos(0)}{0^2+1}=\dfrac{2\cdot 1}{1}=2\)

Es ist also:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=2\)

Die Funktion lässt sich an der Stelle \(x_0=0\) stetig ergänzen und man erhält die Funktion \(\tilde f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch:

\(\qquad \tilde f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{2\cdot x\cdot\cos(x)}{x^3+x} & \textsf{für} \enspace x \ne 0 \\ \\ 2 & \textsf{für} \enspace x = 0 \end{array}\right . \)

Die Funktion \(\tilde f\) lässt sich auch kurz schreiben als:

\(\qquad \tilde f(x)=\dfrac{2\cdot \cos(x)}{x^2+1}\)

\(\enspace\)