Lernmodul: Stetigkeit
Beispiele nicht stetig ergänzbarer Funktionen
Eine weitere Stelle, an der sich der Graph einer Funktion nicht durchzeichnen lässt, ist eine Polstelle.
Definition:
Polstellen oder auch kurz Pole sind nicht stetig ergänzbare Definitionslücken einer rationalen Funktion, für die der Funktionsterm bei Annäherung an diese Lücke betragsmäßig über alle Schranken wächst.
Beispiel:
Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) =\left\{\begin{array}{}\dfrac{1}{x-1}&\textsf{für} \enspace x\ne 1 \\ 0 &\textsf{für}\enspace x=1\end {array}\right .\)
Die Teilfunktion \(\frac{1}{x-1}\) besitzt an der Stelle \(x_0=1\) eine Polstelle, denn es gilt:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{1}{x-1}=-\infty\)
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{1}{x-1}=+\infty\)
Da die Teilfunktion \(\frac{1}{x-1}\) an der Stelle \(x_0=1\) eine Polstelle besitzt, lässt sich die Funktion \(f\) nicht stetig ergänzen.
Beispiel:
Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion \(g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad g(x) =\left\{\begin{array}{}\dfrac{2x+3}{(x+1)^2}&\textsf{für}\enspace x\ne -1\\0&\textsf{für} \enspace x=-1\end {array}\right.\)
Die Teilfunktion \(\frac{2x+3}{(x+1)^2}\) besitzt an der Stelle \(x_0=-1\) eine Polstelle, denn es gilt:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -1 \\ x \lt -1}}\dfrac{2x+3}{(x+1)^2}=\infty\)
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -1 \\ x \gt -1}}\dfrac{2x+3}{(x+1)^2}=\infty\)
Da die Teilfunktion \(\frac{2x+3}{(x+1)^2}\) an der Stelle \(x_0=-1\) eine Polstelle besitzt, lässt sich die Funktion \(g\) nicht stetig ergänzen.
\(\enspace\)