Lernmodul: Stetigkeit
Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Funktion \(f : \mathbb{R}\setminus \{-2;2\} \longrightarrow \mathbb{R}\) \(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} x-1 & \textsf{für} \enspace x \lt -2 \\ -x^2+1 & \textsf{für} \enspace -2 \lt x \lt 2\\ x-5 & \textsf{für} \enspace x \gt 2 \end{array}\right . \) Kann die Funktion an den Stellen \(x_0=-2\) und \(x_1=2\) stetig ergänzt werden und wie lautet die stetig ergänzte Funktion? Schaubild der Funktion  Erklärung Lösung: Die Funktion kann an den Stellen \(x_0=-2\) und \(x_1 = 2\) stetig ergänzt werden. Die stetig ergänzte Funktion \(\tilde f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) lautet: \(\qquad \tilde f(x) =\left\{ \begin{array}{} x-1 & \textsf{für} \enspace x \le -2 \\ -x^2+1 & \textsf{für} \enspace -2 \lt x \lt 2\\ x-5 & \textsf{für} \enspace x \ge 2 \end{array}\right . \) Schaubild der stetig ergänzten Funktion  Erläuterung: Der linksseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=-2\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}(x-1)=-2-1=-3\) Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=-2\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}(-x^2+1)=-4+1=-3\) Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=-2\) sind gleich. Die Funktion kann in \(x_0=-2\) stetig ergänzt werden. Der linksseitige Grenzwert der Funktion für \(x_1=2\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}}(-x^2+1)=-4+1=-3\) Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für \(x_1=2\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}}(x-5)=2-5=-3\) Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_1=2\) sind gleich. Die Funktion kann in \(x_1=2\) stetig ergänzt werden. |  |
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