Lernmodul: Stetigkeit
Aufgabe 2
Gegeben ist die folgende Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) \(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} \dfrac{x^2-1}{x-1} &\textsf{für} \enspace x \ne 1 \\ 2 & \textsf{für} \enspace x=1\end{array}\right . \) Zeigen Sie, dass \(f(x)\) an der Stelle \(x_0=1\) stetig ist. Schaubild der Funktion  Erklärung Erläuterung: Der linksseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=1\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}(x+1)=1+1=2\) Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=1\) lautet: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}(x+1)=1+1=2\) Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind an der Stelle \(x_0=1\) gleich und stimmen mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0=1\) überein. Es gilt also: \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f(x)=f(1)=2\) Die Funktion ist also stetig in \(x_0=1\). |  |
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