Lösung:   

Die Funktion lässt sich an der Stelle \(x_0=-2\) nicht stetig ergänzen. Sie kann nur an der Stelle \(x_1=1\) stetig ergänzt werden.

Erläuterung:

Wir formen die Funktion um, so dass Zähler und Nenner faktorisiert werden:

\(\qquad f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}\)

Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners. Sie lauten \(x_0=-2\) und \(x_1=1\).

Wir untersuchen die Funktion an der Definitionslücke \(x_0=-2\) und berechnen den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \lt -2}}\dfrac{x+1}{x+2}=+\infty\)

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\lim_\limits{\substack{x \to -2 \\ x \gt -2}}\dfrac{x+1}{x+2}=-\infty\)

Da die Funktion an der Stelle \(x_0=-2\) eine Polstelle besitzt, lässt sie sich nicht stetig ergänzen.

Wir untersuchen die Funktion an der Definitionslücke \(x_1=1\) und berechnen den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}}\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{2}{3}\)

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\lim_\limits{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}}\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{2}{3}\)

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_1=1\) sind gleich. Die Funktion kann in \(x_1=1\) stetig ergänzt werden.