Wie lauten die gewinnmaximale Menge und das Gewinnmaximum?

Wir berechnen die Gewinnfunktion \(G\):

\(\qquad G(x)=E(x)-K(x)\)

\(\qquad G(x)=-10x^2+120x-(x^3-12x^2+60x+96)\)

\(\phantom{\qquad G(x)}=-x^3+12x^2-10x^2+120x-60x-96=-x^3+2x^2+60x-96\)

Die Gewinnfunktion lautet also:

\(\qquad G(x)=-x^3+2x^2+60x-96\qquad\) mit \(\qquad 0\le x\le 12\)

Um das Gewinnmaximum zu bestimmen, benötigen wir die ersten beiden Ableitungen der Gewinnfunktion:

\(\qquad G'(x)=-3x^2+4x+60\)

\(\qquad G''(x)=-6x+4\)

Notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum ist:

\(\qquad G'(x)=0\)

Hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum ist:

\(\qquad G''(x)\lt 0\)

Wir setzen die erste Ableitung gleich \(0\):

\(\qquad G'(x)=-3x^2+4x+60=0\)

Wir wenden die \(abc\)-Formel an und erhalten:

\(\qquad ax^2+bx+c=0\qquad\) hat die Lösungen \(\qquad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\qquad -3x^2+4x+60=0\qquad\) hat die Lösungen \(\qquad x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot (-3)\cdot 60}}{2\cdot (-3)}\)

\(\qquad x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{736}}{-6}\)

\(\qquad \implies x_{1}=\dfrac{-4+\sqrt{736}}{-6}\approx -3.85\qquad x_1\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs

\(\qquad \implies x_{2}=\dfrac{-4-\sqrt{736}}{-6}\approx 5.19\)

Wir müssen noch überprüfen, ob an der Stelle \(x_2\) ein Maximum vorliegt:

\(\qquad G''(5.19)=-6\cdot 5.19+4<0\qquad\) Maximum

Die gewinnmaximale Menge liegt bei \(5.19\ \mathrm{ME}\).

Um den gewinnmaximalen Gewinn zu ermitteln, wird die gewinnmaximale Menge in die Gewinnfunktion eingesetzt. Wir erhalten:

\(\qquad G(5.19)=-5.19^3+2\cdot 5.19^2+60\cdot 5.19-96=129.47\)

Das Gewinnmaximum beträgt \(129.47\ \mathrm{GE}\).

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