Definition von Potenzen Grundlagen
Merke:
Potenzen mit dem Exponenten \(2\) werden als Quadratzahlen bezeichnet, Potenzen mit dem Exponenten \(3\) als Kubikzahlen.
Merke:
Ist die Basis einer Potenz eine positive Zahl, dann wird der Potenzwert ebenfalls eine positive Zahl sein.
Ist die Basis eine negative Zahl, dann ist der Potenzwert positiv, wenn der Exponent gerade ist, und negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
Beispiele:
\(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625\)
\((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = (-3)^4 = 81\)
\((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = (-3)^3 = -27\)
Potenzen mit dem Exponenten \(1\) haben den gleichen Wert wie ihre Basis.
Es gilt also: \(\quad a^1=a\)
Es gilt also: \(\quad a^1=a\)
Potenzen mit dem Exponenten \(0\) haben den Wert \(1\), falls die Basis ungleich \(0\) ist.
Es gilt also: \(\quad a^0=1\quad\) mit \(\quad a\ne 0\)
Es gilt also: \(\quad a^0=1\quad\) mit \(\quad a\ne 0\)
Potenzen mit der Basis \(0\) haben den Wert \(0\), falls der Exponent ungleich \(0\) ist.
Es gilt also: \(\quad 0^n=0\quad\) mit \(\quad n\ne 0\)
Es gilt also: \(\quad 0^n=0\quad\) mit \(\quad n\ne 0\)
Was ist \(0^0\)?
Wir haben bei der Gleichung \(a^0=1\) die Basis \(a=0\) ausgenommen und bei der Gleichung \(0^n=0\) den Exponenten \(n=0\). Wir haben also vermieden, den Term \(0^0\) zu berechnen.
Das hat seinen Grund, da wir – je nach Problemstellung – unterschiedliche Werte erhalten. Wir müssen hierbei Grenzwertbetrachtungen durchführen.
Betrachten wir \(x^x\) und lassen \(x\) gegen \(0\) gehen, dann erhalten wir die folgenden Werte:
\(\qquad\) | \(0.1^{0.1}\) | \(\approx 0.794328\) |
\(0.01^{0.01}\) | \(\approx 0.954993\) | |
\(0.001^{0.001}\) | \(\approx 0.993116\) | |
\(0.0001^{0.0001}\) | \(\approx 0.999079\) | |
\(\ldots\) | \(\ldots\) |
Je kleiner wir \(x\) machen, je näher \(x\) dadurch an die \(0\) herankommt, umso eher nähert sich \(x^x\) dem Wert \(1\) an. Man kann zeigen, dass gilt:
\(\qquad\lim\limits_{\substack{x\, \rightarrow \,0 \\ x\,>\,0}}{x^x}=1\)
Betrachten wir dagegen \(0^x\) und lassen \(x\) gegen \(0\) gehen, dann erhalten wir die folgenden Werte:
\(\qquad\) | \(0^{0.1}\) | \(= 0\) |
\(0^{0.01}\) | \(= 0\) | |
\(0^{0.001}\) | \(= 0\) | |
\(0^{0.0001}\) | \(= 0\) | |
\(\ldots\) | \(\ldots\) |
Solange der Exponent \(n\) nicht den Wert \(0\) annimmt, nimmt die Potenz \(0^n\) den Wert \(0\) an. Man kann also zeigen, dass gilt:
\(\qquad\lim\limits_{\substack{x\, \rightarrow \,0 \\ x\,>\,0}}{0^x}=0\)
Wir sehen also, dass es durchaus unterschiedliche Grenzwerte geben kann. Wir können also keinen allgemeinen Wert für \(0^0\) angeben.
Beispiel:
Eine leicht abgewandelte Aufgabe aus dem Papyrus-Rhind:
\(7\) Personen besitzen je \(7\) Katzen. Jede Katze frisst \(7\) Mäuse. Jede Maus frisst \(7\) Ähren Gerste. Aus jeder Ähre Gerste können \(7\) Maß Körner wachsen.
Wie viel Maß sind das?
Erklärung
Lösung:
Das entspricht \(16 \ 807\) Maß.
Erläuterung:
\(\qquad\underbrace{7}_{\textsf{ Personen}} \cdot \underbrace{7}_{\textsf{ Katzen}} \cdot \underbrace{7}_{\textsf{ Mäuse}} \cdot \underbrace{7}_{\textsf{ Ähren}} \cdot \underbrace{7}_{\textsf{ Maß}} = 7^5 = 16 \ 807 \)
Erklärung Lösung:
Erläuterung:
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