Grundlagen Veranschaulichung von Potenzen
Potenzen mit einer Basis größer als \(1\) wachsen bei steigenden Exponenten sehr schnell an.
Beispiele:
Basis | Potenzwerte | |||
\(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) | \(a^5\) |
\(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) | \(32\) |
\(3\) | \(9\) | \(27\) | \(81\) | \(243\) |
\(4\) | \(16\) | \(64\) | \(256\) | \(1024\) |
\(5\) | \(25\) | \(125\) | \(625\) | \(3125\) |
\(10\) | \(100\) | \(1000\) | \(10 \ 000\) | \(100 \ 000\) |
Positive Potenzen mit einer Basis kleiner als \(1\) fallen bei steigenden Exponenten sehr schnell.
Beispiele:
Basis | Potenzwerte | |||
\(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) | \(a^5\) |
\(0.5\) | \(0.25\) | \(0.125\) | \(0.0625\) | \(0.03125\) |
\(0.4\) | \(0.16\) | \(0.064\) | \(0.0256\) | \(0.01024\) |
\(0.3\) | \(0.09\) | \(0.027\) | \(0.0081\) | \(0.00243\) |
\(0.2\) | \(0.04\) | \(0.008\) | \(0.0016\) | \(0.00032\) |
\(0.1\) | \(0.01\) | \(0.001\) | \(0.0001\) | \(0.00001\) |
Die Potenzierung können wir auch in einem Koordinatensystem mit der Basis als \(x\)-Achse und dem Potenzwert als \(y\)-Achse veranschaulichen. Beim Bilden der zweiten, dritten und vierten Potenz erhalten wir das folgende Bild. Beim Bewegen des Mauszeigers über die einzelnen Funktionen wird die aktuelle Funktion farbig hervorgehoben.
Betrachtet man eine der abgebildeten Funktionen, dann führt die Erhöhung der Basis zu größeren Potenzwerten bei gleichem Exponenten. Man bewegt sich hierbei auf dem dazugehörigen Graphen nach rechts.
Betrachtet man alle abgebildeten Funktionen an einer gegebenen Basis (d.h. beim gleichen \(x\)-Wert), dann erkennt man, dass sich bei einer Basis größer \(1\) bei steigenden Exponenten die Potenzwerte erhöhen. Bei einer Basis kleiner \(1\) verringern sich die Potenzwerte bei steigenden Exponenten.
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