Veranschaulichung von Potenzen Wissenschaftliche Notation
Betragsmäßig sehr große Zahlen und Zahlen, die dicht an der Null liegen, lassen sich oft nur dann übersichtlich schreiben, wenn man Zehnerpotenzen abtrennt.
Man teilt die darzustellende Zahl auf in Mantisse \(a\) und Exponent \(b\) zur Basis \(10\):\(\quad a\cdot 10^b\)
Die Mantisse \(a\) ist eine Dezimalzahl und der Exponent \(b\) eine ganze Zahl.
Die Mantisse \(a\) ist eine Dezimalzahl und der Exponent \(b\) eine ganze Zahl.
Beispiele:
\(1\ 234 \ 500\) | \(\hspace{10em}\) | \(0.000 \ 001 \ 234\) | ||
\(=\) | \(1\ 234 \ 500 \cdot 10^0\) | \(=\) | \(0.000 \ 001 \ 234 \cdot 10^0\) | |
\(=\) | \(123\ 450 \cdot 10^1\) | \(=\) | \(0.000 \ 012 \ 34 \cdot 10^{-1}\) | |
\(=\) | \(12\ 345 \cdot 10^2\) | \(=\) | \(0.000 \ 123\ 4 \cdot 10^{-2}\) | |
\(=\) | \(1234.5 \cdot 10^3\) | \(=\) | \(0.001 \ 234 \cdot 10^{-3}\) | |
\(=\) | \(123.45 \cdot 10^4\) | \(=\) | \(0.012 \ 34 \cdot 10^{-4}\) | |
\(=\) | \(12.345 \cdot 10^5\) | \(=\) | \(0.123 \ 4 \cdot 10^{-5}\) | |
\(=\) | \(1.2345 \cdot 10^6\) | \(=\) | \(1.234 \cdot 10^{-6}\) |
Man erhält Zahlen mit dem gleichen Wert, wenn man den Exponenten um \(1\) erhöht und gleichzeitig den Dezimalpunkt um \(1\) nach links verschiebt bzw. wenn man den Exponenten um \(1\) verringert und gleichzeitig den Dezimalpunkt um \(1\) nach rechts verschiebt.
Besonders gut erkennt man den Wert einer Zahl, wenn man sie so darstellt, dass vor dem Dezimalpunkt nur eine einzige Ziffer größer Null steht. Diese Darstellung nennt man wissenschaftliche Notation.
Definition:
Eine Zahl lässt sich in wissenschaftlicher Notation schreiben, indem man sie aufteilt in ein Produkt aus
- einer Dezimalzahl \(a\) mit genau einer Ziffer vor dem Komma, die nicht Null ist, und
- einer Zehnerpotenz \(10^b\).
Zahl in wissenschaftlicher Notation:\(\qquad a\cdot 10^b\quad\) mit \(\quad 1\le a<10\)
Beispiele:
\(-0.075\) | \(\quad\) | in wissenschaftlicher Notation: | \(\quad\) | \(-7.5\cdot 10^{-2}\) |
\(987\ 654.321\) | in wissenschaftlicher Notation: | \(9.876\ 543 \ 21\cdot 10^5\) | ||
\(-12\ 345.67 \cdot 10^3\) | in wissenschaftlicher Notation: | \(-1.234\ 567 \cdot 10^7\) | ||
\(0.000 567 \cdot 10^{-1}\) | in wissenschaftlicher Notation: | \(5.67 \cdot 10^{-5}\) |
Merke:
Die Zahl \(1\) lässt sich ebenfalls in wissenschaftlicher Notation schreiben:\(\quad 1=1\cdot 10^0\)
Merke:
Die Zahl \(0\) lässt sich nicht in wissenschaftlicher Notation schreiben.
Erklärung Lösung:
Erläuterung:
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