Potenzen mit gleichen Exponenten Potenzieren von Potenzen
Das Potenzieren von Potenzen lässt sich auf die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis zurückführen. Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert.
Beispiel:
\(\begin {array} {} \left(a^2\right)^3 & = & a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \\ \\ & = & \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \cdot \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \cdot \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \\ \\ & = & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{3 \cdot 2 \textsf{ Faktoren}}}}\ =\ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{6 \textsf{ Faktoren}}}} \\ \\ & = & a^6 \end {array}\)
Potenzgesetze für das Potenzieren von Potenzen:
Für \(a\in \mathbb{R}\) mit \(a \ne 0 \) und \(m,n \in \mathbb{Z}\) gilt:
\(\qquad\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}=\left(a^n\right)^m\)
Beispiele:
\(\begin{array} {} \left(a^m\right)^{m-1} & = & a^{m(m-1)}=a^{m^2-m} \\ \\ \left(a^5 \cdot b^3\right)^3 & = & a^{5\cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3}=a^{15} \cdot b^{9}\end {array}\)
\(\enspace\)