Potenzieren von Potenzen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Wir wollen die Potenzgesetze zusammenfassen.
Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten:
Für \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a \ne 0, b\ne 0\) und \(m,n \in \mathbb{Z}\) gilt:
\(\qquad\begin {array} {} a^m \cdot a^n & = & a^{m+n} & \qquad & \dfrac{a^m}{a^n} & = & a^{m-n} \\ \\ a^n \cdot b^n & = & \left(a \cdot b\right)^n & \qquad & \dfrac{a^n}{b^n} & = & \left(\dfrac{a}{b}\right)^n \\ \\ \left(a^m\right)^n & = & a^{m\cdot n}=\left(a^n\right)^m \end {array}\)
Beispiele:
\(\begin{array} {} \dfrac {(4a^5 \cdot b^6)^3}{(2a^6 \cdot b^2)^3} & = & \dfrac{4^3 \cdot a^{5\cdot 3} \cdot b^{6\cdot 3}}{2^3 \cdot a^{6\cdot 3} \cdot b^{2\cdot 3}}=\dfrac {2^3 \cdot 2^3 \cdot a^{15} \cdot b^{18}}{2^3 \cdot a^{18} \cdot b^{6}}=\dfrac {8\cdot b^{12}}{a^3} \\ \\ \dfrac {\left(7^8\right)^{10} \cdot \left(6^4\right)^{19}}{14^{75} \cdot \left(3^{20}\right)^4} & = & \dfrac {7^{80} \cdot 6^{76}}{14^{75} \cdot 3^{80}} = \dfrac {7^{80} \cdot 2^{76} \cdot 3^{76}}{ 7^{75} \cdot 2^{75} \cdot 3^{80}} = \dfrac {7^5 \cdot 2}{3^4} = \dfrac {33 \ 614}{81}\end {array}\)
Aufpassen muss man bei der Addition und Subtraktion von Potenzen:
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Summen bzw. Differenzen aus Potenzen mit unterschiedlicher Basis und unterschiedlichen Exponenten lassen sich meist nicht weiter zusammenfassen. |
Beispiel: \(\quad 3^4+4^2\) kann nicht zusammengefasst werden. | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Summen bzw. Differenzen aus Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten lassen sich nur durch Ausklammern zusammenfassen. |
Beispiel: \(\quad 2\cdot x^2-2\cdot x^3\) kann nur durch Ausklammern zusammengefasst werden. | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Summen bzw. Differenzen aus Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten lassen sich nicht direkt zusammenfassen. |
Beispiel: \(\quad 3^2 + 2^2\) kann nicht zusammengefasst werden. | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Im Allgemeinen gilt: |
\(\qquad a^n \pm b^n \ne (a \pm b)^n\) | |
Beispiel: \(\quad 16=5^2-3^2\neq (5-3)^2 = 2^2=4\) |
Erklärung Lösung: \(p = 4 \qquad q = 1\) Erläuterung: Wir lösen die Klammern auf und vereinfachen den Term:
Daraus folgt: \(\qquad p=4 \qquad q=1\) |  |
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