Reihenfolge beim Rechnen Binomischer Lehrsatz
Das Quadrieren von Binomen führt zu den ersten beiden binomischen Formeln (ergänzt um die 3. binomische Formel wurden sie bereits im Kurs "Arithmetik" erläutert).
Binomische Formeln:
Für \(a,b\in \mathbb{R}\) gilt:
1. binomische Formel: \(\qquad (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2\)
2. binomische Formel: \(\qquad (a- b)^2 = a^2 -2ab + b^2\)
3. binomische Formel: \(\qquad (a -b)(a + b) = a^2 - b^2\)
Veranschaulichung der binomischen Formeln
Häufig benötigt man aber Binome in höheren Potenzen, etwa \((a+b)^3\) oder \((a-b)^4\).
Die Darstellung von \((a+b)^3\) kann man sich bildlich als zusammengesetzte Würfel im Raum vorstellen. Bei höheren Potenzen ist eine bildliche Darstellung jedoch nicht mehr möglich.
\(\qquad\) | \((a+b)^3 \) | \(\quad = \quad\) | \((a+b)^2(a+b)\) |
\(\quad = \quad\) | \(\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\) | ||
\(\quad = \quad\) | \(a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\) | ||
\(\quad = \quad\) | \(a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3\) |
Die Verallgemeinerung der binomischen Formeln auf \(n\) Faktoren wird durch den binomischen Lehrsatz beschrieben. Der binomische Lehrsatz gibt an, dass die Potenzen eines Binoms \(a+b\) durch Polynome in den Variablen \(a\) und \(b\) ausgedrückt werden können.
Binomischer Lehrsatz:
Für \(a,b \in \mathbb{R}\) und für \(n \in \mathbb{N}^*\) gilt:
\(\qquad\) | \((a+b)^n\) | \(\enspace= \enspace {n \choose 0}\,a^{n}\ +{n \choose 1}\,a^{n-1}\,b + {n \choose 2}\,a^{n-2}\,b^2+ \ldots + {n \choose n-1}\,a\,b^{n-1} +{n \choose n}\,b^n\) |
\(\enspace= \enspace a^{n}\ + n\cdot a^{n-1}\,b + \dfrac{n(n-1)}{2}\cdot a^{n-2}\,b^2+ \ldots +n \cdot a\,b^{n-1} +\,b^n\) |
Erläuterungen zum binomischen Lehrsatz
Der Beweis des Satzes erfolgt mit Vollständiger Induktion. Wir werden an dieser Stelle auf den Beweis verzichten.
Die Koeffizienten \({n \choose k}\) der Summenterme nennt man Binomialkoeffizienten. Sie lassen sich oft mithilfe des Taschenrechners bestimmen. Bei der Tastenbelegung der Taschenrechner verwendet man häufig die englische Abkürzung "nCr" (nCr = n choose r).
Binomialkoeffizienten
Definition:
Die Binomialkoeffizienten für \(k,n\in \mathbb{N}\) mit \(k\le n\) sind definiert durch:
\(\qquad {n \choose k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n \cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1)\cdot k}\)
Sprechweise: \(\quad n\) über \(k\)
Das Symbol \(n!\) bezeichnet die Fakultät der Zahl \(n\).
Insbesondere gelten die folgenden Regeln für Binomialkoeffizienten für natürliche Zahlen \(n\) und \(k\):
- \({n \choose 0} = {n \choose n} = 1\)
- \({n \choose 1} = {n \choose n-1} = n\)
- \({n \choose k} = {n \choose n-k}\quad \) mit \(0\le k \le n\)
Fakultäten
Definition:
Unter der Fakultät der Zahl \(n\) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\).
\(\qquad n!=1 \cdot 2 \cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n\)
Per Definition ist \(0!=1\).
Fakultäten werden ausführlich im Kurs "Mathematischen Grundlagen" erläutert und an dieser Stelle nicht weiter vertieft.
Pascalsches Dreieck
Binomialkoeffizienten lassen sich mithilfe des Pascalschen Dreiecks einfach bestimmen. Sie werden in einem Dreiecksschema angeordnet.
\(\qquad\begin{array}{ccccccccc}&& & & & {0 \choose 0} & & & & \\& & & & {1 \choose 0} & & {1 \choose 1} & & & \\& & & {2 \choose 0} & & {2 \choose 1} & & {2 \choose 2} & & \\& & {3 \choose 0} & & {3 \choose 1} & & {3 \choose 2} & & {3 \choose 3} & \\& {4 \choose 0} & & {4 \choose 1} & & {4 \choose 2} & & {4 \choose 3} & & {4 \choose 4} \\\ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots\end{array}\)
Rechnet man die Binomialkoeffizienten aus, so ergeben sich die folgenden Werte:
\(\qquad\begin{array}{ccccccccc}& & & & & 1 & & & & \\& & & & 1 & & 1 & & & \\& & & 1 & & 2 & & 1 & & \\& & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\\ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots & & \ldots\end{array}\)
Das Pascalsche Dreieck ermöglicht es, nacheinander alle Binomialkoeffizienten zu berechnen. Die äußeren Zahlen der \(n\)-ten Zeile haben den Wert \(1\), da \({n \choose 0}=1\) und \({n \choose n}=1\). Die inneren Zahlen der \(n\)-ten Zeile erhält man durch die Addition der benachbarten Zahlen der vorhergehenden Zeile.
Betrachtet man die \(n\)-te Zeile des Pascalschen Dreiecks, so sind die dort angegebenen Werte genau die Koeffizienten der Potenzen, die man zum Berechnen von \((a+b)^n\) benötigt.
\(\qquad\begin{array}{}(a+b)^1 & = & 1a & + & 1b \\(a+b)^2 & = & 1a^2 & + & 2ab & +& 1b^2 \\(a+b)^3 & = & 1 a^3 & + & 3 a^2b & + & 3 ab^2 & + & 1b^3 & \\(a+b)^4 & = & 1 a^4 & + & 4 a^3b & + & 6 a^2b^2 & + & 4ab^3 & + & 1b^4\end{array}\)
\(\enspace\)