Beispiele zu Potenzen einer Summe Beispiele zu Potenzen einer Differenz
Der binomische Lehrsatz gilt nicht nur für Potenzen einer Summe \((a+b)^n\), sondern auch für Potenzen einer Differenz \((a-b)^n\). Der Term \((a-b)\) lässt sich schreiben als \(\left(a+(-b)\right)\) und auf diesen Term lässt sich der binomische Lehrsatz anwenden.
\(\qquad\) | \((a-b)^n\) | \(\ = \ \) | \((a+(-b))^n \) |
\(\ = \ \) | \({n \choose 0}\,a^{n}\ +{n \choose 1}\,a^{n-1}\,(-b) + {n \choose 2}\,a^{n-2}\,(-b)^2 + \ldots \) \(+\, {n \choose n-1}\,a\,(-b)^{n-1}\) \( +\,{n \choose n}\,(-b)^n \) | ||
\(\ = \ \) | \({n \choose 0}\,a^{n}\ +{n \choose 1}\, (-1) \cdot a^{n-1} \cdot b + {n \choose 2}\, (-1)^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots \) \(+\, {n \choose n-1}\, (-1)^{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1}\) \(+\,{n \choose n}\, (-1)^n \cdot b^n\) | ||
\(\ = \ \) | \({n \choose 0}\,a^{n}\ -{n \choose 1}\,a^{n-1}\,b + {n \choose 2}\,a^{n-2}\,b^2- \ldots \) \(+\,(-1)^{n-1} {n \choose n-1}\,a\,b^{n-1} \) \(+\,(-1)^n{n \choose n}\,b^n\) |
Beachten sollte man hierbei, dass die Summe abwechselnd aus positiven und negativen Summanden besteht. Ob die Summe mit einem positiven oder negativen Summanden endet, hängt davon ab, ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Bei geradem \(n\) endet die Summe mit einem positiven Summanden, bei ungeradem \(n\) mit einem negativen Summanden.
Beispiel:
2. binomische Formel:
\(\qquad\) | \((a-b)^2\) | \(\ =\ \) | \((a+(-b))^2\) |
\(\ =\ \) | \({2 \choose 0}a^2+{2 \choose 1} a (-b)+{2 \choose 2} (-b)^2\) | ||
\(\ =\ \) | \(a^2 - 2 ab + b^2\) |
Beispiel:
\((2x-1)^4\) | \(\ =\ \) | \((2x+(-1))^4\) |
\(\ =\ \) | \({4 \choose 0} \cdot (2x)^4 + {4 \choose 1}\cdot (2x)^3 \cdot (-1)^1\) \(+\,{4 \choose 2} \cdot (2x)^2 \cdot (-1)^2 \) \(+ \,{4 \choose 3} \cdot (2x) \cdot (-1)^3 \) \(+\, {4 \choose 4} (-1)^4\) | |
\(\ =\ \) | \(16x^4-32x^3+24x^2-8x+1\) |
Beispiel:
\((3-a)^5\) | \(\ =\ \) | \( (3+(-a))^5\) |
\(\ =\ \) | \({5 \choose 0} \cdot 3^5 + {5 \choose 1} \cdot 3^4\cdot (-a) + {5 \choose 2}\cdot 3^3 \cdot (-a)^2\) \( +\, {5 \choose 3} \cdot 3^2 \cdot (-a)^3 \) \(+ \,{5 \choose 4} \cdot 3 \cdot (-a)^4\) \( +\, {5 \choose 5} (-a)^5\) | |
\(\ =\ \) | \({5 \choose 0} \cdot 3^5 - {5 \choose 1} \cdot 3^4\cdot a + {5 \choose 2}\cdot 3^3 \cdot a^2-{5 \choose 3} \cdot 3^2 \cdot a^3\) \( +\, {5 \choose 4} \cdot 3 \cdot a^4\) \( -\, {5 \choose 5} a^5\) | |
\(\ =\ \) | \(243 - 5 \cdot 81 \cdot a + 10 \cdot 27 \cdot a^2 - 10 \cdot 9 \cdot a^3 + 5 \cdot 3 \cdot a^4 -a^5\) | |
\(\ =\ \) | \(243-405a+270a^2-90a^3+15a^4-a^5\) |
Erklärung Lösung: \(A=\frac{1}{16}a^4\)\( \,-\, \frac{1}{3}a^3b\) \(\,+\, \frac{2}{3}a^2b^2 \,\)\(\,-\,\frac{16}{27}ab^3 \)\(\,+\,\frac{16}{81}b^4\) Erläuterung:
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