Beispiele zu Potenzen einer Differenz Faktorisierung
Im Kurs "Arithmetik" wurden Terme, die in Summenform vorlagen, durch Faktorisieren in ein Produkt zerlegt. Man hat hierzu die binomischen Formeln benutzt.
Durch das Faktorisieren lassen sich Terme kompakter darstellen. Auch können Eigenschaften, wie z.B. Nullstellen, einfacher erkannt werden. Vorteile bietet das Faktorisieren auch beim Arbeiten mit Bruchtermen. Zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren, dann lassen sich gleiche Faktoren kürzen und der Term hierdurch einfacher darstellen.
Beispiele:
\(9a+12ab+4b^2\) \(=(3a+2b)^2\)
\(1-x^2\) \(=(1-x)(1+x)\)
Auch Ausdrücke der Form \(a^n-b^n\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{N}^*\) lassen sich faktorisieren:
\(\qquad \) | \(a^n-b^n=\ (a-b)\cdot \sum_\limits{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}\,b^k}\) |
\(\phantom{a^n-b^n}=\ (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2+ \ldots + a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) |
Beweis
Die Formel lässt sich durch Ausmultiplizieren zeigen:
\(\qquad \) | \((a-b)\cdot \sum_\limits{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}\,b^k}\) |
\(=(a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2+ \ldots + a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) | |
\(=a\left(a^{n-1} + a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2+ \ldots + a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) \(-\,b\left(a^{n-1} + a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2+ \ldots + a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) | |
\(=a^n + a^{n-1}\,b + a^{n-2}\,b^2 + \ldots + a^2 \,b^{n-2} + a\,b^{n-1}\) \(-\,a^{n-1}\, b - a^{n-2}\,b^2 - a^{n-3}\,b^3 - \ldots - a \,b^{n-1} - b^{n}\) | |
\(=a^n - b^{n}\) |
Beispiele:
\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(x^4-1=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1\right)\)
\(\dfrac{1-a^5}{1-a}=1+a+a^2+a^3+a^4\)
Aus Ausdrücken der Form \(a^n+b^n\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{N}^*\) lässt sich für ungerade \(n\) der Faktor \(a+b\) abspalten.
\(\qquad \) | \(a^n+b^n=\ (a+b)\cdot \sum_\limits{k=0}^{n-1}{(-1)^ka^{n-1-k}\,b^k}\) |
\(\phantom{a^n+b^n}=\ (a+b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2 - \ldots - a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) |
Beweis
Die Formel lässt sich durch Ausmultiplizieren zeigen:
\(\qquad \) | \((a+b)\cdot \sum_\limits{k=0}^{n-1}{(-1)^ka^{n-1-k}\,b^k}\) |
\(=(a+b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2- \ldots - a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) | |
\(=a\left(a^{n-1} - a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2 - \ldots - a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) \(+\,b\left(a^{n-1} - a^{n-2}\,b + a^{n-3}\,b^2 - \ldots - a \,b^{n-2} + b^{n-1}\right)\) | |
\(=a^n - a^{n-1}\,b + a^{n-2}\,b^2 - \ldots - a^2 \,b^{n-2} + a\,b^{n-1}\) \(+\,a^{n-1}\, b - a^{n-2}\,b^2 + a^{n-3}\,b^3 - \ldots - a \,b^{n-1} + b^{n}\) | |
\(=a^n + b^{n}\) |
Beispiele:
\(125+a^3=\left(5+a\right)\left(25-5a+a^2\right)\)
\(x^5+1=\left(x+1\right)\left(x^4-x^3+x^2-x+1\right)\)
Schwieriger wird es, wenn man den Term \(a^n+b^n\) mit geradem \(n\) in Faktoren zerlegen möchte. Die Faktorzerlegung lässt sich in diesen Fällen nicht allgemein angeben.
Wir geben einige Beispiele an. Eine allgemeine Regel, wie man auf die Faktorzerlegung kommt, gibt es jedoch nicht.
Beispiele:
\(a^4+b^4=\left(a^2+\sqrt{2}ab+b^2\right)\left(a^2-\sqrt{2}ab+b^2\right)\)
\(a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\)
\(x^6+1=\left(x^2+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)\)
Erklärung Lösung: \(A=(a−b+3)(a^2+ab+b^2)\) Erläuterung: Lösung durch Anwendung der Verallgemeinerung der binomischen Formeln:
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