Darstellung harmonischer Schwingungen Eigenschaften von Schwingungen
Wir betrachten wieder eine allgemeine harmonische Schwingung
\(\qquad s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) \)
mit Kreisfrequenz \(\omega\) und Schwingungsfrequenz \(f = \large\frac {\omega}{2 \pi}\). Dann ist durch
\(\qquad T_0 = \dfrac {1}{f} \)
die Schwingungsdauer gegeben, also die Zeit, die benötigt wird, um die Schwingung einmal komplett zu durchlaufen.
Es gilt nämlich
\(\qquad s(t+T_0) \ \) | \(= A \cdot \sin(\omega \cdot (t+T_0)+\varphi)\) |
\(= A \cdot \sin(\omega \cdot t+\omega \cdot \large\frac {2\pi}{\omega}\normalsize+\varphi)\) | |
\(= A \cdot \sin(\omega \cdot t+2\pi+ \varphi)\) | |
\(= A \cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi)\) | |
\( = s(t) \) |
Damit ist \(T_0\) zumindest ein Vielfaches der Schwingungsdauer, und da \(\sin\) die primitive Periode \(2 \pi\) hat, wie wir am Graphen der Sinuskurve sehen und auch schon bei den allgemeinen Eigenschaften trigonometrischer Funktionen hergeleitet haben, folgt sogar, dass \(T_0\) genau die Schwingungsdauer ist.
Wird eine Schwingung \(s(t)\), etwa eine Pendelauslenkung, einmal komplett durchlaufen, so gibt es zwei Zeitpunkte, zu denen das Pendel nicht ausgelenkt ist und sich in der Position befindet, die es auch in der Ruhelage hat. Diese Zeitpunkte sind bestimmt durch die Bedingung \(s(t) = 0\) und werden Nulldurchgänge der Schwingung genannt.
Merke:
Messen wir die Zeit in Sekunden, so hat die Frequenz die Einheit \({\mathrm{1/s}}\). Diese Einheit nennen wir auch Hertz, abgekürzt \(\mathrm{Hz}\) (nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz (1857 – 1894)).
\(\enspace\)