Die beschreibenden Größen einer harmonischen Schwingung lassen sich leicht durch Beobachtungen ermitteln. So ist etwa die Zeit, die zwischen zwei Nulldurchgängen einer Schwingung vergeht, gerade die Hälfte der Schwingungsdauer. Aus der Messung der Ausschlagsweite zu bestimmten Zeiten können dann auch Amplitude und Phasenverschiebung ermittelt werden.

Von einer harmonischen Schwingung ist bekannt, dass sie einen Nulldurchgang \(0.2\) Sekunden nach Beginn der Messung hat und der nächste Nulldurchgang dann zum Zeitpunkt \(t = 0.8\) (Sekunden) erfolgt. Nach \(0.3\) Sekunden wird ein Schwingungsausschlag von \(0.4\) Metern gemessen.

Mit diesen Daten kann nun die Schwingung vollständig beschrieben werden. Dazu machen wir den Ansatz

\(\qquad s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) \)

Wir wissen, dass \(s(0.2) = 0\) und \(s(0.8) = 0\) und dass \(s(t)\) dazwischen keine Nullstelle hat. Da die Nullstellen des Sinus immer den Abstand \(\pi\) voneinander haben, erhalten wir daraus

\(\qquad \omega \cdot 0.8 + \varphi - (\omega  \cdot 0.2 + \varphi) = \pi \)

also

\(\qquad 0.6 \cdot \omega = \pi \)

woraus wir sofort \(\omega = \large\frac {5 \pi}{3} \) erhalten, sodass wir also bereits wissen

\(\qquad s(t) = A \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{3} \cdot t + \varphi \right) \)

Nun wissen wir auch, dass \(s(0.2) = 0\). Setzen wir das ein, so erhalten wir

\(\qquad 0 = A \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{3} \cdot 0.2 + \varphi \right) \)

Da die Nullstellen des Sinus genau die Vielfachen von \(\pi\) sind, bedeutet das, dass

\(\qquad \dfrac {\pi}{3} + \varphi = k \cdot \pi \,\, \) für ein \(\, k \in \mathbb Z\)

also

\(\qquad \varphi = k \cdot \pi - \dfrac {\pi}{3} \)

Da für die Phasenverschiebung ein Winkel zwischen \(0\) und \(2 \pi\) gewählt wird, erhalten wir zwei mögliche Kandidaten

\(\qquad \varphi_1 = \dfrac {2 \pi}{3} \quad\) und \( \quad\varphi_2 = \dfrac {5 \pi}{3} \)

Um hieraus die korrekte Phasenverschiebung auszuwählen und um die Amplitude zu bestimmen, nutzen wir die letzte Angabe \(s(0.3) = 0.4\). Das führt für \(\varphi_1 = \large\frac {2 \pi}{3}\) zu der Gleichung

\(\qquad A \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{3} \cdot 0.3 + \dfrac {2 \pi}{3} \right) = 0.4 \)

also zu

\(\qquad A \cdot \sin\left( \dfrac {7 \pi}{6} \right) = 0.4 \)

und damit

\(\qquad A = \dfrac {0.4}{\sin\left( \frac {7 \pi}{6} \right)} = -0.8 \)

Da die Amplitude aber positiv sein soll, kommt diese Lösung nicht in Betracht und damit scheidet \(\varphi_1\) aus. Für \(\varphi_2\) erhalten wir die Gleichung 

\(\qquad A \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{3} \cdot 0.3 + \dfrac {5 \pi}{3} \right) = 0.4 \)

also

\(\qquad A \cdot \sin\left( \dfrac {13 \pi}{6} \right) = 0.4 \)

und damit

\(\qquad A = \dfrac {0.4}{\sin\left( \large\frac {13 \pi}{6}\normalsize \right)} = 0.8 \)

Damit erhalten wir einen zulässigen Wert und unsere Schwingung ist gegeben durch

\(\qquad s(t) = 0.8 \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{3} \cdot t + \dfrac {5 \pi}{3} \right) \)