Anwendungsbeispiel 2 Aufgabe 1
Eine ungedämpfte Schwingung hat einen maximalen Ausschlag von \(20.00 \, \mathrm{cm}\) (nach oben bzw. unten). Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich der schwingende Körper genau \(10.00 \, \mathrm{cm}\) oberhalb der Ruhelage, und der erste Nulldurchgang findet zum Zeitpunkt \(t = 1.5\) (Sekunden) statt. Können Sie aus diesen Daten die Schwingungsfunktion \(\qquad s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) \) schon bestimmen? Erklärung Lösung: Es gibt zwei mögliche Formen für diese Schwingung, einmal \(\qquad s_1(t) = 0.2 \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{9} \cdot t + \dfrac {\pi}{6} \right) \) und einmal \(\qquad s_2(t) = 0.2 \cdot \sin\left( \dfrac {\pi}{9} \cdot t + \dfrac {5 \pi}{6} \right) \) Erläuterung: Aus den Angaben wissen wir bereits, dass \(A = 0.20 \) (wenn wir die Länge in Metern messen). Und damit ist sicherlich \(\qquad s(t) = 0.2 \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)\) Ferner kennen wir den Startwert und erhalten daraus die Gleichung \(\qquad 0.1 = s(0) = 0.2 \cdot \sin(\varphi) \) also \(\qquad \sin(\varphi) = \dfrac {1}{2} \) Diese Gleichung hat (nach den bekannten Tabellen zu den Werten von Sinus und Kosinus) im Bereich von \(0\) bis \(2 \pi\) zwei Lösungen, nämlich \(\qquad \varphi_1 = \dfrac {\pi}{6}\quad\) und \(\quad \varphi_2 = \dfrac {5 \pi}{6} \) Wir kennen auch den ersten Nulldurchgang und erhalten daraus die Gleichung \(\qquad 0 = s(1.5) = 0.2 \cdot \sin( \omega \cdot 1.5 + \varphi) \) Da es sich um die erste Nullstelle handelt und da sowohl \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) zwischen \(0 \) und \(\pi\) liegen, bedeutet das \(\qquad \omega \cdot 1.5 + \varphi = \pi \) Für \(\varphi_1\) erhalten wir daraus \(\qquad \omega_1 = \dfrac {\pi - \large\frac {\pi}{6}\normalsize}{\large\frac {3}{2}\normalsize} = \dfrac {5 \pi}{9} \) und für \(\varphi_2\) ergibt sich \(\qquad \omega_2 = \dfrac {\pi - \large\frac {5\pi}{6}\normalsize}{\large\frac {3}{2}\normalsize} = \dfrac {\pi}{9} \) Wir erhalten also zwei mögliche Darstellungsformen der Schwingung, einerseits \(\qquad s_1(t) = 0.2 \cdot \sin\left( \dfrac {5 \pi}{9} \cdot t + \dfrac {\pi}{6} \right) \) und andererseits \(\qquad s_2(t) = 0.2 \cdot \sin\left( \dfrac {\pi}{9} \cdot t + \dfrac {5 \pi}{6} \right) \) und für beide sind alle Bedingungen erfüllt. Die Angaben legen die Schwingung also noch nicht eindeutig fest. |  |
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