Aufgabe 1 Aufgabe 2
Die Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz ist wieder eine Schwingung (d.h. die Summe von zwei harmonischen Schwingungen \(s_1(t) \) und \(s_2(t)\) mit der Kreisfrequenz \(\omega\) ist wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz \(\omega\)). Berechnen Sie die Schwingung, die Sie erhalten, wenn Sie die Schwingungen \(\qquad s_1(t) = 10 \cdot \sin\left( 5 t + \dfrac {\pi}{2} \right) \) und \(\qquad s_2(t) = 10 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(5t + \pi) \) überlagern. Erklärung Lösung: \(\qquad s(t) = 20 \cdot \sin\left( 5 t + \dfrac {5 \pi}{6} \right) \) Erläuterung: Wir haben
zu berechnen und als Schwingung darzustellen. Dazu wenden wir zunächst auf die beiden Einzelschwingungen die Additionstheoreme für den Sinus an und erhalten
und
Damit ist also
und wir müssen diesen Ausdruck noch zusammenfassen. Dazu benutzen wir wieder die Additionstheoreme für den Sinus (jetzt in der anderen Richtung) und schreiben
Die gewünschte Darstellung als Schwingung hat also die Form: \(\qquad s(t) = 20 \cdot \sin\left( 5 t + \dfrac {5 \pi}{6} \right) \) Die Überlagerung hat also die Amplitude \(A = 20\), die Kreisfrequenz \(\omega = 5\) und die Phasenverschiebung \(\varphi = \large\frac {5 \pi}{6} \). |  |
\(\enspace\)