Lernmodul: Schwingungen und Arkusfunktionen

Functions

Aufgabe 3

Durch die Vorschrift

\(\qquad s(t) = 22 \cdot \sin\left( 12 t + \dfrac {\pi}{6} \right) + 22 \cdot \cos\left( 12 t + \dfrac{ 7 \pi}{6} \right) \)

wird eine harmonische Schwingung definiert.

Bestimmen Sie Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung dieser Schwingung.

Erklärung

Lösung:

Die Schwingung hat Amplitude \(A = 22 \cdot \sqrt{2} \), Kreisfrequenz \(\omega = 12\) und Phasenverschiebung \(\varphi = \large\frac {5 \pi}{12}\).

Erläuterung:

Wir wenden zunächst die Additionstheoreme an und erhalten

\(\qquad \sin\left( 12 t + \dfrac {\pi}{6}\right) \ \)	\(= \sin\left( 12 t\right) \cdot \cos\left( \dfrac {\pi}{6}\right) + \cos\left(12 t\right) \cdot \sin\left( \dfrac {\pi}{6} \right) \)
	\(= \dfrac {\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(12t) + \dfrac {1}{2} \cdot \cos(12 t) \)

und

\(\qquad \cos\left( 12 t + \dfrac {7 \pi}{6}\right) \ \)	\(= \cos\left( 12 t\right) \cdot \cos\left( \dfrac {7\pi}{6}\right) - \sin\left(12 t\right) \cdot \sin\left( \dfrac {7 \pi}{6} \right) \)
	\(= - \dfrac {\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(12t) + \dfrac {1}{2} \cdot \sin(12t)\)

Nun gehen wir ähnlich vor wie bei der Behandlung linearer trigonometrischer Gleichungen und erhalten:

\(\qquad\)	\( s(t)= 22 \cdot \sin\left( 12 t + \dfrac {\pi}{6} \right) + 22 \cdot \cos\left( 12 t + \dfrac {7\pi}{6} \right) \)
	\( \phantom{s(t)}= 11 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(12t) + 11 \cdot \cos(12t) + 11 \cdot \sin(12t) - 11 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(12t) \)
	\(\phantom{s(t)}= 11 \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot \sin(12t) + 11 \cdot (1-\sqrt{3}) \cdot \cos(12 t)\)
	\(\phantom{s(t)}= 22 \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \dfrac {1+ \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} \cdot \sin(12 t) + \dfrac {1-\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} \cdot \cos(12t) \right)\)
	\(\phantom{s(t)}= 22 \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \dfrac {\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \sin(12t) + \dfrac {\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \cdot \cos(12t) \right) \)
	\(\phantom{s(t)} = 22 \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \cos\left( \dfrac {23\pi}{12} \right) \cdot \sin(12t) + \sin\left( \dfrac {23\pi}{12} \right) \cdot \cos(12 t) \right) \)
	\(\phantom{s(t)}= 22 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left( 12 t + \dfrac {23\pi}{12} \right) \)

wobei wir auch noch das Ergebnis einer Beispielsrechnung (Teil c)) aus dem Abschnitt über Additionstheoreme (und die Tatsache, dass \(345^{\circ}\) dem Bogenmaß \(\large\frac {23 \pi}{12}\) entspricht) verwendet haben. Damit ist also \(s(t)\) eine Schwingung mit Amplitude \(A = 22 \cdot \sqrt{2} \), Kreisfrequenz \(\omega = 12\) und Phasenverschiebung \(\varphi = \large\frac {23 \pi}{12}\).

\(\enspace\)

Quellen

Glossar

Aufgabe 2

Der Arkussinus