Um die Parameter einer Schwingung zu bestimmen, sind häufig Gleichungen der Form

\(\qquad \sin(\omega \cdot x + \varphi) = y \)

zu lösen. Für einige Werte von \(y\) sind uns die Argumente des Sinus bekannt, die zu diesen Werten führen, im Allgemeinen haben wir aber noch keinen Zugang zu dieser Gleichung. Die eleganteste Lösung wäre natürlich, wenn es eine Funktion \(f\) gäbe, die Gleichungen dieser Art löst, d.h. für die in der Situation obiger Gleichung gilt

\(\qquad \omega \cdot x + \varphi = f(y) \)

Eine Funktion mit dieser Eigenschaft wäre eine Umkehrfunktion des Sinus. Da allerdings z.B.

\(\qquad 0 =  \sin(0) = \sin(\pi) = \sin(2 \pi) = \ldots  \)

ist der Sinus sicherlich nicht injektiv, und damit sicherlich auch nicht umkehrbar (vergleiche dazu auch den Abschnitt über Umkehrfunktionen im Kurs "Funktionen"). Wir haben aber schon bei der Behandlung der Quadratfunktion im Kurs "Funktionen" gesehen, dass sich dieses Problem eventuell dadurch lösen lässt, dass wir den Definitionsbereich einschränken. Tatsächlich ist es auch hier so, dass wir, wenn wir den Sinus auf das Intervall \(\left[ - \large\frac {\pi}{2}\normalsize, \large\frac {\pi}{2} \normalsize\right]\) einschränken, den folgenden Funktionsgraphen erhalten

Der Sinus ist also in diesem Intervall streng monoton steigend und damit gibt es zu jedem \(y\) zwischen \(-1\) und \(1\) genau einen \(x\)-Wert zwischen \(-\large\frac {\pi}{2}\) und \(\large\frac {\pi}{2}\) mit \(\sin(x) = y\). Daher existiert eine Umkehrfunktion

\(\qquad \arcsin: [-1, \, 1] \longrightarrow \left[ - \dfrac {\pi}{2} , \, \dfrac{\pi}{2} \right] \)

die Arkussinus genannt wird. 

Wie wir im Abschnitt über Umkehrfunktionen gesehen haben, erhalten wir den Graphen der Umkehrfunktion aus dem Graphen der Funktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, und daher hat der Arkussinus folgenden Graphen: