Die Umkehrfunktion einer Funktion hat die gleiche Monotonie wie die Funktion selbst, und daher ist der Arkussinus streng monoton steigend und der Arkuskosinus streng monoton fallend. Das können wir aber auch direkt nachrechnen, z.B. für den Arkussinus. Dazu geben wir uns zwei Punkte \(x_1, x_2 \in [-1, 1]\) mit \(x_1 < x_2\) vor, und wir haben zu zeigen, dass \(\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2) \) ist. Dazu setzen wir \(y_1 = \arcsin(x_1)\) und \(y_2 = \arcsin(x_2)\) und nehmen an, dass \(y_1 \geq y_2\) ist. Da aber \(y_1, y_2 \in \left[-\large\frac {\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right] \), und da der Sinus auf \(\left[-\large\frac {\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right] \) streng monoton steigt, muss auch \(\sin(y_1) \geq \sin(y_2)\) gelten. Nun ist aber \(\sin\) die Umkehrfunktion des \(\arcsin \) (auf diesem Intervall), und daher ist \(\sin(y_1) = x_1\) und \(\sin(y_2) = x_2\). Da aber \(x_1 < x_2\) kann nicht \(\sin(y_1) \geq \sin(y_2)\) gelten, unsere Annahme war daher falsch, und es muss gelten

\(\qquad \arcsin(x_1) < \arcsin(x_2) \)

Für den Arkuskosinus geht man entsprechend vor.

Die Punktsymmetrie des Arkussinus folgt aus der Punktsymmetrie des Sinus. Dazu betrachten wir ein \(x \in [-1, 1]\) und setzen

\(\qquad y_1 = \arcsin(x), \qquad y_2 = \arcsin(-x)  \)

Falls jetzt \(y_2 \neq -y_1\) gelten sollte, so müsste (wegen der Injektivität des Sinus auf \(\left[- \large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right]  \)) auch

\(\qquad - x = \sin(\arcsin(-x)) = \sin(y_2) \)

\(\qquad\neq \sin(-y_1) = - \sin(y_1) = - \sin(\arcsin(x)) = - x \)

also \(-x \neq -x \), gelten, was offensichtlich nicht sein kann. Deshalb muss \(y_2 = - y_1\) sein.

Die Aussage für den Arkuskosinus folgt nicht ganz so einfach aus allgemeinen Eigenschaften von Umkehrfunktionen. Um das nachzurechnen, benötigen wir explizit Eigenschaften der Kosinusfunktion. Da der Kosinus auf dem Intervall \([0, \, \pi]\) injektiv ist, müssen wir zum Nachweis von

\(\qquad \arccos(-x) =  \pi - \arccos(x)\)

nur zeigen, dass

\(\qquad\cos(\arccos(-x)) = \cos(\pi - \arccos(x)) \)

ist. Da der Arkuskosinus die Umkehrfunktion des Kosinus ist, gilt auf jeden Fall

\(\qquad \cos(\arccos(-x))  = - x  \)

Auf die rechte Seite wenden wir auch noch die Additionstheoreme an und erhalten

Hier haben wir auch noch ausgenutzt, dass

\(\qquad \cos(-y) = \cos(y), \quad \cos(\pi) = -1 \quad  \)  und \(\quad \sin(\pi) = 0 \)

Da ganz allgemein \(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\) für jede reelle Zahl \(a\), speziell also auch für \(a=\arcsin(x)\) oder \(a = \arccos(x)\), gilt auf jeden Fall

\(\qquad \cos^2(\arcsin(x)) = 1 - \sin^2(\arcsin(x)) = 1 - x^2 \)

Da nun \(\arcsin(x) \in \left[-\large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{\pi}{2}\normalsize\right]  \) und da der Kosinus auf diesem Intervall \(\left[-\large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{\pi}{2}\normalsize\right] \) nicht negativ ist, folgt

\(\qquad \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{\cos^2(\arcsin(x))} =  \sqrt{1 -x^2} \)

Entsprechend gilt

\(\qquad \sin^2(\arccos(x)) = 1 - \cos^2(\arccos(x)) = 1 - x^2 \)

Da \(\arccos(x) \in \left[0, \, \pi \right]  \) und da der Sinus auf diesem Intervall \( \left[0, \, \pi \right] \) nicht negativ ist, folgt auch hier

\(\qquad \sin(\arccos(x)) = \sqrt{\sin^2(\arccos(x))} =  \sqrt{1 -x^2} \)