Für die Umkehrbarkeit der Sinusfunktion haben wir diese auf das Intervall \( \left[- \large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{\pi}{2}\normalsize\right] \) eingeschränkt. Das ist naheliegend, aber sicherlich nicht die einzige Möglichkeit. Hätten wir stattdessen die Sinusfunktion auf das Intervall \(\left[ \large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{3 \pi}{2}\normalsize\right]\) eingeschränkt, so wäre der Sinus dort ebenfalls injektiv geworden, und wir hätten ebenfalls eine Umkehrfunktion erhalten, die wir für den Moment mit \(\arcsin_1\) bezeichnen wollen. Grafisch stellt sich die Situation wie folgt dar: 

Diese Arkusfunktion \(\arcsin_1\) unterscheidet sich also von der bis jetzt betrachteten Abbildung \(\arcsin\) (die häufig auch der Hauptzweig des Arkussinus genannt wird). Es ist wichtig auch diesen Nebenzweig \(\arcsin_1\) zu verstehen. Betrachten wir nämlich eine Gleichung

\(\qquad \sin(x) = a \quad \)    (mit \(\,\ -1 \leq a \leq 1\))

so liefert uns \(x_1 = \arcsin(a)\) eine Lösung dieser Gleichung im Intervall \(\left[- \large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{\pi}{2}\normalsize\right]\) und \(x_2 = \arcsin_1(a)\) liefert uns eine weitere Lösung im Intervall \(\left[\large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{3\pi}{2}\normalsize\right]\). Diese Gleichung hat natürlich noch unendlich viele weitere Lösungen. Diese erhalten wir aber jetzt aus der \(2 \pi\)-Periodizität der Sinusfunktion; sie sind alle von der Form \(x_1 + 2 k \pi\) oder \(x_2 + 2 k \pi\) (für ein \(k \in \mathbb Z\)). (Alternativ könnten wir dafür natürlich auch noch weitere Zweige der Arkussinusfunktionen betrachten).

Diese beiden Arkusfunktionen stehen in einer engen Beziehung zueinander:

\(\qquad \arcsin_1(x) = \pi - \arcsin(x)  \)

Ist nämlich \(y_1 \in \left[-\large \frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{\pi}{2}\normalsize\right]\) eine Lösung der Gleichung \(\sin(y) = x\), so ist \(y_2 = \pi - y_1\) die Lösung dieser Gleichung aus dem Intervall \(\left[ \large\frac{\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac{3\pi}{2}\normalsize\right]\). Damit reicht also die Kenntnis von \(\arcsin\) aus, um alle Lösungen der Gleichung \(\sin(x) = a\) zu bestimmen. Wir müssen uns allerdings immer bewusst sein, dass \(\arcsin(a)\) nicht die einzige Lösung dieser Gleichung ist.

Genauso wie beim Sinus hätten wir auch beim Kosinus andere Intervalle für die Umkehrbarkeit auswählen können, etwa das Intervall \([\pi, \, 2 \pi] \). Bezeichnen wir analog mit \(\arccos_1\) die zu diesem Intervall gehörige Umkehrfunktion, und betrachten wir eine Gleichung

\(\qquad \cos(x) = a \quad \)  (mit \(\, -1 \leq a \leq 1\))

so liefern uns hier \(x_1 = \arccos(a)\) und \(x_2 = \arccos_1(a)\) die beiden Lösungen dieser Gleichung im Intervall \([0, \, 2 \pi]\) (und hieraus ergeben sich wieder alle anderen durch Addition von Vielfachen von \(2 \pi\)). Auch hier gibt es wieder einen engen Zusammenhang zwischen \(\arccos\) und \(\arccos_1\):

\(\qquad \arccos_1(x) = 2 \pi - \arccos(x) \)