Jedes \(x \in [-1, 1]\) schreibt sich als

\(\qquad x = \sin(y) \)

für ein \( y \in \left[ -\large\frac {\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right] \). Dann ist aber \( \large\frac {\pi}{2}\normalsize - y \in [0, \, \pi] \), und nach den Umrechnungsformeln für Sinus und Kosinus gilt

\(\qquad x = \sin(y) = \cos\left( \dfrac {\pi}{2} - y\right) \)

Damit erhalten wir

\(\qquad \begin{array} {l c l} \arcsin(x) + \arccos(x) & = & \arcsin(\sin(y)) + \arccos\left( \cos\left( \dfrac {\pi}{2} - y\right) \right) \\ & = & y + \left( \dfrac {\pi}{2} - y \right) \\ & = & \dfrac {\pi}{2} \end{array} \)

Beachten Sie, dass es für dieses Argument wichtig war, dass \( \large\frac {\pi}{2}\normalsize - y \in [0, \, \pi] \), denn nur deshalb ist

\(\qquad \arccos\left( \cos\left( \dfrac {\pi}{2} - y\right) \right) = \dfrac {\pi}{2} - y \)

Hätten wir etwa die Formel \(\sin(y) = \cos\left( y + \large\frac {3\pi}{2} \normalsize\right) \) benutzt, so wäre \(y + \large\frac {3\pi}{2}\normalsize \in [\pi, 2 \pi]\), und daher wäre \(\arccos\) nicht die Umkehrfunktion von \(\cos\) auf diesem Intervall.