Aufgabe 3 Dreiecke und Arkusfunktionen 1
Ein wichtiges Anwendungsgebiet trigonometrischer Gleichungen und der Arkusfunktionen findet sich in der Geometrie, etwa bei der Winkelberechnung von Dreiecken.
Beispiel:
Wir betrachten ein Dreieck \(\Delta(ABC)\) mit den Winkeln \(\alpha, \beta\) und \(\gamma\) und den Seiten \(a, b\) und \(c\) wie folgt:
Dabei ist bekannt, dass \(a=14, b=13\) und \(c = 15\) (Längeneinheiten). Dadurch ist das Dreieck (bis auf Kongruenz) nach den Kongruenzsätzen aus der Geometrie schon eindeutig festgelegt und damit sind alle Winkel bestimmt. Diese sollen nun explizit ermittelt werden. Da \(c\) die längste Seite des Dreiecks ist, ist der Winkel \(\gamma\) der größte Winkel in dem Dreieck. Daher bestimmen wir zunächst \(\gamma\) mit Hilfe des Kosinussatzes. Dieser besagt:
\(\qquad c^2 = a^2+b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \)
also
\(\qquad 15^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos(\gamma) \)
bzw.
\(\qquad 225 = 365 - 364 \cdot \cos(\gamma) \)
Daraus erhalten wir
\(\qquad \cos(\gamma) = \dfrac {140}{364} \)
Da \(\gamma\) auf jeden Fall zwischen \(0^{\circ}\) und \(180^{\circ}\), also (im Bogenmaß) zwischen \(0 \) und \(\pi\) liegt, erhalten wir ihn als
\(\qquad \gamma = \arccos\left( \dfrac {140}{364} \right) \approx 1.176 \)
(im Bogenmaß) und damit
\(\qquad \gamma \approx 67.38^{\circ} \)
Die verbleibenden Winkel bestimmen wir nun mit dem Sinussatz, der (für die Seiten \(a\) und \(c\)) besagt
\(\qquad \dfrac {a}{\sin(\alpha)} = \dfrac {c}{\sin(\gamma)} \)
und damit
\(\qquad \sin(\alpha) = \dfrac {a}{c} \cdot \sin(\gamma) \)
Da \(\alpha \leq \gamma\), liegt \(\alpha\) zwischen \(0^{\circ}\) und \(90^{\circ}\) und damit ist
\(\qquad \alpha = \arcsin\left(\dfrac {a}{c} \cdot \sin(\gamma)\right) \approx 1.038 \)
(im Bogenmaß) bzw.
\(\qquad \alpha \approx 59.49^{\circ} \)
Entsprechend erfüllt \(\beta\) die Gleichung
\(\qquad \sin(\beta) = \dfrac {b}{c} \cdot \sin(\gamma) \)
und wir erhalten
\(\qquad \beta = 53.13^{\circ} \)
Alternativ können wir natürlich auch wie folgt rechnen
\(\qquad\beta = 180^{\circ} - \gamma - \alpha = 180^{\circ} - 67.38^{\circ} - 59.49^{\circ} = 53.13^{\circ}\)
\(\enspace\)