Bei der Berechnung der Winkel in Dreiecken muss ein Winkel immer mit Hilfe des Kosinussatzes ermittelt werden. Wichtig ist dabei, dass wir hierfür immer den größten Winkel, also den Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt, nehmen. Das wird nun an einem Beispiel erläutert.

Wir betrachten ein Dreieck \(\Delta(ABC)\) mit den Winkeln \(\alpha, \beta\) und \(\gamma\) und den Seiten \(a, b\) und \(c\) wie folgt:

Dabei ist bekannt, dass \(a=14, b=13\) und \(c =20\) (Längeneinheiten). Daraus sollen nun die Winkel in diesem Dreieck ermittelt werden. Würden wir nun den Winkel \(\alpha\) mit Hilfe des Kosinussatzes bestimmen, so erhalten wir hierfür die Gleichung

\(\qquad a^2 = b^2+c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha) \)

also

\(\qquad 196 = 596 -  520 \cdot \cos(\alpha) \)

Daraus erhalten wir

\(\qquad \cos(\alpha) = \dfrac {400}{520} \)

und damit

\(\qquad \alpha = \arccos\left( \dfrac {400}{520} \right) \approx 0.693 \)

(im Bogenmaß) und damit

\(\qquad \alpha \approx 39.72^{\circ}  \)

Werden die verbleibenden Winkel nun mit dem Sinussatz bestimmt, so ist zunächst

\(\qquad \dfrac {c}{\sin(\gamma)} = \dfrac {a}{\sin(\alpha)} \)

und damit

\(\qquad \sin(\gamma) = \dfrac {c}{a} \cdot \sin(\alpha) \)

Wenden wir den Arkussinus an, so liefert das

\(\qquad \gamma = \arcsin\left(\dfrac {c}{a} \cdot \sin(\alpha)\right) \approx  1.15 \)

(im Bogenmaß) bzw.

\(\qquad \gamma \approx 65.90^{\circ} \)

Entsprechend erfüllt \(\beta\) die Gleichung

\(\qquad \sin(\beta) = \dfrac {b}{a} \cdot \sin(\alpha) \)

woraus durch Anwendung des Arkussinus folgen würde

\(\qquad \beta \approx 36.39^{\circ} \)

Diese Ergebnisse sind aber offensichtlich falsch, da die Winkelsumme nicht \(180^{\circ}\) ergibt. Der Fehler ist dabei bei der Berechnung von \(\gamma\) aufgetreten. Wie wir schon an der Skizze sehen können, ist \(\gamma\) nämlich ein stumpfer Winkel. Der Arkussinus liefert allerdings immer spitze Winkel (da er nur Werte \(\leq \large\frac {\pi}{2}\) annimmt). Die in unserer Situation richtige Lösung \(\gamma\) der Gleichung

\(\qquad \sin(\gamma) = \dfrac {c}{a} \cdot \sin(\alpha) \)

ist also nicht \(\arcsin\left(\large\frac {c}{a} \normalsize\cdot \sin(\alpha)\right)\) sondern

\(\qquad \gamma \approx \pi - \arcsin\left(\dfrac {c}{a} \cdot \sin(\alpha)\right) \approx 1.99 \)

(im Bogenmaß), was dann auch zu dem korrekten Winkel

\(\qquad \gamma \approx 114.11^{\circ} \)

führt. Diesen Irrweg hätten wir uns erspart, wenn wir \(\gamma\) gleich mit dem Kosinussatz ermittelt hätten, da der Arkuskosinus auch stumpfe Winkel korrekt angibt.