Dreiecke und Arkusfunktionen 2 Trigonometrische Gleichungen und Arkusfunktionen 1
Die Arkusfunktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel, die allgemeinen Lösungen linearer trigonometrischer Gleichungen zu bestimmen.
Beispiel:
Wir suchen alle Lösungen der Gleichung
\(\qquad 4 \cdot \sin(2x) - 3 \cdot \cos(2x) = 2 \)
Zunächst gehen wir vor wie bei der allgemeinen Behandlung linearer trigonometrischer Gleichungen. Wir dividieren also die gesamte Gleichung durch
\(\qquad \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)
und erhalten
\(\qquad \dfrac {4}{5} \cdot \sin(2x) - \dfrac{3}{5} \cdot \cos(2x) = \dfrac {2}{5} \)
Um die linke Seite der Gleichung nach den Additionstheoremen zusammenzufassen, müssen wir ein \(b\) zwischen \(0\) und \(2\pi\) finden, sodass
\(\qquad \cos(b) = \dfrac {4}{5}, \quad \sin(b) = - \dfrac {3}{5} \)
Wie wir bei den Variationen zu den Arkusfunktionen gesehen haben, erhalten wir die beiden Lösungen von \(\cos(b) = \large\frac {4}{5}\) im Intervall \([0, \, 2 \pi]\) durch
\(\qquad b_1 = \arccos\left( \dfrac {4}{5} \right) \approx 0.6435 \)
\(\qquad b_2 = 2 \pi - \arccos\left( \dfrac {4}{5} \right) \approx 5.6397\)
Eine Lösung der Gleichung \(\sin(b) = - \large\frac {3}{5} \) (im Bereich \(\left[ - \large\frac {\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right]\)) erhalten wir durch den Arkussinus
\(\qquad \widetilde{b}_1 = \arcsin\left( - \dfrac {3}{5} \right) \approx -0.6435 \)
Diese Lösung liegt jedoch nicht zwischen \(0\) und \(2 \pi\). Um in diesen Bereich zu kommen, addieren wir \(2 \pi\) und erhalten dadurch die Lösung
\(\qquad b^{\prime}_1 = 2 \pi + \arcsin\left( - \dfrac {3}{5} \right) \approx 5.6397 \)
Eine zweite Lösung der Gleichung \(\sin(b) = - \frac {3}{5} \), diesmal im Bereich \(\left[ \frac {\pi}{2}, \, \frac {3\pi}{2} \right]\), erhalten wir (wieder wie in Variationen zu den Arkusfunktionen) durch
\(\qquad b^{\prime}_2 = \pi - \arcsin\left( - \dfrac {3}{5} \right) \approx 3.7851 \)
Zwischen \(0\) und \(2 \pi\) gibt es also genau ein \(b\), dass beide Gleichungen löst, nämlich
\(\qquad b = b_2 = b^{\prime}_1 \approx 5.6397 \)
und hierfür können wir unsere Gleichung wie folgt schreiben:
\(\qquad \cos(b) \cdot \sin(2x) + \sin(b) \cdot \cos(2x) = \dfrac {2}{5} \)
nach den Additionstheoremen also als
\(\qquad \sin(2x + b) = \dfrac {2}{5} \)
Diese Gleichung hat nun im Intervall \([0, \, 2 \pi]\) die beiden Lösungen
\(\qquad 2x_1 + b = \arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) \)
und
\(\qquad 2x_2 + b = \pi - \arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) \)
Alle anderen Lösungen ergeben sich aus einer dieser beiden Lösungen durch Addition eines Vielfachen von \(2 \pi\). Wenn wir das dann nach \(x\) auflösen, erhalten wir, dass alle Lösungen von der Form
\(\qquad x = \dfrac {1}{2} \left(\arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) - b\right) + k \cdot \pi \)
oder
\(\qquad x = \dfrac {1}{2} \left(\pi -\arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) - b\right) + k \cdot \pi \)
sind. Die beiden Grundlösungen sind
\(\qquad x_1 = \dfrac {1}{2} \left(\arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) - b\right) \approx -2.6141 \)
und
\(\qquad x_2= \dfrac {1}{2} \left(\pi -\arcsin\left(\dfrac {2}{5}\right) - b\right) \approx -1.4548 \)
\(\enspace\)