Auch bei trigonometrischen Gleichungen, in denen die trigonometrischen Funktionen unterschiedliche Kreisfrequenzen haben, können die Arkusfunktionen eingesetzt werden:

Wir suchen alle Lösungen der Gleichung

\(\qquad - \sin(3x) + 3 \cdot \cos(2x) + \dfrac {23}{4} \cdot \sin(x) = \dfrac {27}{8} \)

Hierfür wandeln wir zunächst alle trigonometrischen Terme in solche mit einer einheitlichen Kreisfrequenz \(\omega = 1\) um. Hierfür benutzen wir die Vielfachenformeln und die Doppelwinkelformeln, die besagen:

\(\qquad \sin(3x) = 3 \cdot \sin(x) - 4 \cdot \sin^3(x) \)

und

\(\qquad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1-2 \cdot \sin^2(x) \)

Setzen wir das nämlich ein, so wird die Gleichung zu

\(\qquad -3 \cdot \sin(x) + 4 \cdot \sin^3(x) + 3 - 6 \cdot \sin^2(x) +  \dfrac {23}{4} \sin(x) = \dfrac {27}{8} \)

also, nach Zusammenfassen, zu

\(\qquad 4 \cdot \sin^3(x) - 6 \cdot \sin^2(x) + \dfrac {11}{4} \cdot \sin(x) - \dfrac {3}{8} = 0 \)

Wir substituieren \(u = \sin(x)\) und erhalten daraus die Gleichung

\(\qquad 4 \cdot u^3 - 6 \cdot u^2 + \dfrac {11}{4} \cdot u - \dfrac {3}{8} = 0\)

also eine Gleichung dritten Grades. Ausprobieren führt zu einer Lösung \(u_1 = \large\frac {1}{2}\). Polynomdivision ergibt

\(\qquad 4 \cdot u^3 - 6 \cdot u^2 + \dfrac {11}{4} \cdot u - \dfrac {3}{8} = \left( u - \dfrac {1}{2} \right) \cdot \left( 4 \cdot u^2 - 4 \cdot u + \dfrac {3}{4} \right) \)

und die \(abc\)-Formel liefert zwei weitere Lösungen \(u_2 = \large\frac{1}{4} \) und \(u_3 = \large\frac {3}{4}\). Zur Resubstitution haben wir nun die Gleichungen 

\(\qquad \sin(x) = \dfrac {1}{4}, \quad \sin(x) = \dfrac {1}{2} \quad \) und \(\quad \sin(x) = \dfrac {3}{4} \)

zu lösen. Alle drei Gleichungen haben jeweils zwei Lösungen im Intervall \([0, \, 2 \pi]\). Für \(\sin(x) = \large\frac {1}{4}\) sind das

\(\qquad x_1 = \arcsin\left( \dfrac {1}{4} \right) \approx 0.2527 \)

\(\qquad x_2 = \pi - \arcsin\left( \dfrac {1}{4} \right) \approx 2.8889 \)

für \(\sin(x) = \large\frac {1}{2} \) sind das (bekanntermaßen)

\(\qquad x_3 = \dfrac {\pi}{6}  \)

\(\qquad x_4 = \dfrac {5 \pi}{6}\)

und für \(\sin(x) = \large\frac {3}{4}\) sind das

\(\qquad x_5 = \arcsin\left( \dfrac {3}{4} \right) \approx 0.8481 \)

\(\qquad x_2 = \pi - \arcsin\left( \dfrac {3}{4} \right) \approx 2.2935\)\(\)

Die allgemeinen Lösungen ergeben sich hieraus durch Addition von Vielfachen von \(2 \pi\). Die allgemeine Lösung ist also von der Form

\(\qquad x = x_i + 2 k \pi \qquad (i = 1, \ldots, 6, \,\, k \in \mathbb Z \, )\)