Auch für die Bestimmung der Parameter einer harmonischen Schwingung können die Arkusfunktionen eingesetzt werden:

Wir betrachten eine harmonische Schwingung, von der bekannt ist, dass ihre Schwingungsdauer \(T=0.20 \,\mathrm{s}\) beträgt. Ferner wird gemessen, dass die Auslenkung zum Zeitpunkt \(t=0 \, \mathrm{s}\) genau \(7.00\,\mathrm{cm}\) beträgt, dass sie zu diesem Zeitpunkt bereits auf dem Rückweg zum Nulldurchgang ist, und dass ihre Amplitude \(A=10.00\,\mathrm{cm}\) ist. Wir wollen daraus die Schwingungsfunktion in der Form

\(\qquad s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) \)

bestimmen.

Die Schwingungsdauer steht mit der Kreisfrequenz über die Gleichung

\(\qquad T = \dfrac {1}{f} = \dfrac {2\pi}{\omega} \)

in Beziehung. Daraus erhalten wir

\(\qquad \omega = \dfrac {2\pi}{T} = \dfrac {2 \pi}{0.20} = 10 \cdot \pi\)

und wir haben also schon

\(\qquad s(t) = 10 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot t + \varphi) \)

Schließlich haben wir noch die Beziehung \(s(0) = 7\), also

\(\qquad 10 \cdot \sin(\varphi) = 7 \)

bzw.

\(\qquad \sin(\varphi) = 0.7 \)

Diese Gleichung hat im Intervall \([0, \, 2 \pi] \) genau zwei Lösungen, nämlich

\(\qquad \varphi_1 = \arcsin(0.7) \approx 0.7754 \)

und

\( \qquad \varphi_2 = \pi - \arcsin(0.7) \approx 2.3662 \)

Aus dem Verlauf der Sinuskurve sehen wir zudem, dass sich die Schwingung bei \(\varphi_1\) zum Zeitpunkt \(t=0\) noch vom Nulldurchgang wegbewegen würde, und daher scheidet \(\varphi_1\) aus. Damit hat die Schwingung die Form

\(\qquad s(t) = 10 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot t + \varphi_2) = 10 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot t + \pi - \arcsin(0.7)) \)