Harmonische Schwingungen und Arkusfunktionen Aufgabe 1
Wir betrachten ein allgemeines Dreieck mit den Ecken \(A, B\) und \(C\), den Winkeln \(\alpha, \beta\) und \(\gamma\) und den Seiten \(a, b\) und \(c\) wie folgt:  Dabei ist bekannt, dass \(\gamma = 70^{\circ}\), \(a = 9 \, \mathrm{cm}\) und \(b = 7 \, \mathrm{cm}\). Berechnen Sie die fehlenden Größen \(\alpha, \beta\) und \(c\). Erklärung Lösung: Es ist \(c = 9.32 \, \mathrm{cm}\), \(\alpha = 65.12^{\circ}\,\) und \(\,\beta = 44.88^{\circ}\). Erläuterung: Zunächst gilt nach dem Kosinussatz \(\qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) = 81 + 49 - 126 \cdot \cos(70^{\circ}) \approx 86.91 \) Da auf jeden Fall \(c > 0\), folgt hieraus \(\qquad c = \sqrt{c^2} \approx 9.3223 \) Nach dem Sinussatz gilt nun \(\qquad \dfrac {a}{\sin(\alpha)} = \dfrac {c}{\sin(\gamma)} \) also \(\qquad \sin(\alpha) = \dfrac {a \cdot \sin(\gamma)}{c} \) Diese Gleichung hat (im Bogenmaß) im Intervall \([0, \pi]\) zwei Lösungen, nämlich \(\qquad \alpha_1 = \arcsin\left( \dfrac {a \cdot \sin(\gamma)}{c} \right) \approx 1.1366 \) \(\qquad \alpha_2 = \pi - \arcsin\left( \dfrac {a \cdot \sin(\gamma)}{c} \right) \approx 2.0050\) Dem entspricht im Winkelmaß \(\qquad \alpha_1 = 65.12^{\circ} \) \(\qquad \alpha_2 = 114.88^{\circ}\) Beachten Sie dabei, dass wir \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) zunächst im Bogenmaß ("rad") angegeben haben. Das entspricht den Voreinstellungen der meisten Taschenrechner und Computeralgebrasysteme (und der Definition der Arkusfunktionen). Bei einer Einstellung auf Gradmaß erhalten Sie sofort \(\qquad \alpha_1 = \sin^{-1}\left( \dfrac {a \cdot \sin(\gamma)}{c} \right) \approx 65.12^{\circ} \) \(\qquad \alpha_2 = \pi - \sin^{-1}\left( \dfrac {a \cdot \sin(\gamma)}{c} \right) \approx 114.88^{\circ}\) Damit sehen wir, dass \(\alpha_2\) ausscheidet, da in diesem Fall die Winkelsumme im Dreieck größer als \(180^{\circ}\) wäre (schon \(\gamma + \alpha_2 > 180^{\circ}\)), und dass \(\alpha = \alpha_1\) der gesuchte Winkel ist. Aus der Winkelsummenbedingung erhalten wir damit \(\qquad \beta = 180^{\circ} - \alpha - \gamma = 44.88^{\circ} \) |  |
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