Aufgabe 1 Aufgabe 2
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung \(\qquad - 5 \cdot \sin(3x) + 12 \cdot \cos(3x) = 7 \) Erklärung Lösung: Die Lösungsmenge ist
Erläuterung: Wir gehen vor wie in dem Beispiel, dass wir in diesem Lernmodul betrachtet haben, dividieren also zunächst durch \(\qquad \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) und erhalten \(\qquad - \dfrac {5}{13} \cdot \sin(3x) + \dfrac {12}{13} \cdot \cos(3x) = \dfrac {7}{13} \) Nun bestimmen wir den eindeutigen Wert von \(b \in [0, \, 2 \pi[\) mit \(\qquad \cos(b) = - \dfrac {5}{13}\) \(\qquad \sin(b) = \dfrac {12}{13} \) Aus der Gleichung \(\sin(b) = \dfrac {12}{13}\) erhalten wir in diesem Intervall die beiden Lösungen \(\qquad b_1 = \arcsin\left( \dfrac {12}{13} \right) \approx 1.1760 \) \(\qquad b_2 = \pi - \arcsin\left( \dfrac {12}{13} \right) \approx 1.9656\) und aus der Gleichung \(\cos(b) = -\dfrac {5}{13}\) erhalten wir in diesem Intervall die beiden Lösungen \(\qquad b_3 = \arccos\left( -\dfrac {5}{13} \right) \approx 1.9656 \) \(\qquad b_4 = 2\pi - \arccos\left( -\dfrac {5}{13} \right) \approx 4.3176\) Damit sehen wir, dass \(b_2 = b_3\) der einzige Wert ist, der beide Gleichungen löst, also \(\qquad b = \pi - \arcsin\left( \dfrac {12}{13} \right) = \arccos\left( -\dfrac {5}{13} \right) \approx 1.9656 \) Die Gleichung schreibt sich damit also \(\qquad \cos(b) \cdot \sin(3x) + \sin(b) \cdot \cos(3x) = \dfrac {7}{13} \) also nach Anwendung der Additionstheoreme als \(\qquad \sin(3x+b) = \dfrac {7}{13} \) Im Intervall \( \left[- \large\frac {\pi}{2}\normalsize, \, \large\frac {\pi}{2}\normalsize \right]\) hat diese Gleichung zwei Lösungen \(\qquad 3 x_1 + b = \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) \approx 0.5686 \) und \(\qquad 3 x_2 + b = \pi - \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) \approx 2.5730 \) Alle anderen Lösungen ergeben sich daraus durch Addition von Vielfachen von \(2 \pi\), d.h. ein \(x\), das die Gleichung löst, erfüllt entweder \(\qquad 3 x + b = \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) + 2 k \pi \) oder \(\qquad 3 x + b = \pi - \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) + 2 k \pi \) (für eine ganze Zahl \(k\)). Damit sind die Lösungen also alle \(x \), die sich entweder als \(\qquad x = \dfrac {1}{3} \cdot \left( \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) + 2 k \pi - b \right) \) oder als \(\qquad x = \dfrac {1}{3} \cdot \left( \pi - \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) + 2 k \pi - b \right) \) \(\qquad \phantom{x}= \dfrac {1}{3} \cdot \left((2k+1) \cdot \pi - \arcsin\left(\dfrac {7}{13}\right) - b \right)\) schreiben lassen. |  |
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