Aufgabe 2 Aufgabe 3
Wir betrachten eine Schwingung \(s(t)\), von der wir wissen, dass sie eine Phasenverschiebung von \(\varphi = 80^{\circ}\) hat, dass Sie zum Zeitpunkt \(t = 0.10 \, \mathrm{s}\) eine Auslenkung von \(9.00 \, \mathrm{cm}\) hat und das ihr erster Nulldurchgang zum Zeitpunkt \(t = 0.15 \, \mathrm{s}\) stattfindet. Bestimmen Sie Amplitude und Kreisfrequenz dieser Schwingung und stellen Sie sie in der Form \(\qquad s(t) = A \cdot \sin\left( \omega \cdot t + \varphi \right) \) dar. Erklärung Lösung: Die Schwingung hat die Darstellung \(\qquad s(t) = \dfrac {9}{\sin\left( \large\frac {22}{27}\normalsize \cdot \pi \right)} \cdot \sin\left( \large\frac {100}{27}\normalsize \cdot \pi \cdot t + \large\frac {4}{9}\normalsize \cdot \pi \right)\) \( \qquad \phantom{s(t)}\approx 16.38 \cdot \sin\left( \large\frac {100}{27}\normalsize \cdot \pi \cdot t + \large\frac {4}{9}\normalsize \cdot \pi \right)\) Erläuterung: Zunächst stellen wir \(\varphi\) im Bogenmaß dar und erhalten \(\qquad \varphi = \dfrac {80^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi = \dfrac {4}{9} \cdot \pi \) Damit ist auf jeden Fall die Schwingung von der Form \(\qquad s(t) = A \cdot \sin\left( \omega \cdot t + \dfrac {4}{9} \cdot \pi \right) \) Der erste Nulldurchgang ist bei \(t = 0.15\). Da \(\varphi < \pi\) bedeutet das, dass \(\qquad \omega \cdot 0.15 + \dfrac {4}{9} \cdot \pi = \pi \) Diese lineare Gleichung in \(\omega \) hat die eindeutige Lösung \(\qquad \omega = \dfrac {100}{27} \cdot \pi \) und damit haben wir bereits, dass \(\qquad s(t) = A \cdot \sin\left( \dfrac {100}{27} \cdot \pi \cdot t + \dfrac {4}{9} \cdot \pi \right) \) Ferner wissen wir, dass \(s(0.10) = 9\), woraus wir die Gleichung \(\qquad A \cdot \sin\left( \dfrac {10}{27} \cdot \pi + \dfrac {4}{9} \cdot \pi \right) = 9 \) erhalten und damit \(\qquad A = \dfrac {9}{\sin\left( \large\frac {10}{27}\normalsize \cdot \pi +\large \frac {4}{9} \normalsize\cdot \pi \right)} = \dfrac {9}{\sin\left( \large\frac {22}{27}\normalsize \cdot \pi \right)} \approx 16.38 \) Die Schwingung schreibt sich also als \(\qquad s(t) = \dfrac {9}{\sin\left( \large\frac {22}{27} \normalsize\cdot \pi \right)} \cdot \sin\left( \large\frac {100}{27}\normalsize \cdot \pi \cdot t + \large\frac {4}{9}\normalsize \cdot \pi \right)\) \(\qquad \phantom{s(t)}\approx 16.38 \cdot \sin\left(\large \frac {100}{27}\normalsize \cdot \pi \cdot t + \large\frac {4}{9} \normalsize\cdot \pi \right) \) |  |
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