Die Lösungsmenge ist

\(\qquad\mathbb L = \left\{ \left. (2k+1) \cdot \pi, \arccos\left( \large\frac {3}{4}\normalsize\right) + 2 k \cdot \pi, \,  (2 k+1) \cdot \pi - \arccos\left(\large \frac {3}{4}\normalsize\right) \,\, \right\vert \,\, k \in \mathbb Z \right\}\)

Fassen wir alle Terme auf der linken Seite zusammen, so wird die Gleichung zu

\(\qquad 2 \cdot \cos(4x) - \cos(3x) - 23 \cdot \cos(2x) - 9 \cdot \cos(x) + 11 =  0 \)

Wenden wir auf die linke Seite die Vielfachenformeln und die Doppelwinkelformel für die Winkelfunktionen an, so erhalten wir

Die Gleichung lässt sich also in der folgenden Form schreiben:

\(\qquad 16 \cdot \cos^4(x) - 4 \cdot \cos^3(x) - 62 \cdot \cos^2(x) - 6 \cdot \cos(x) + 36 = 0 \)

Eine Substitution \(u = \cos(x) \) macht daraus

\(\qquad 16 \cdot u^4 - 4 \cdot u^3 - 62 \cdot u^2 - 6 \cdot u+ 36 = 0 \)

Durch Ausprobieren finden wir die beiden Lösungen \(u_1 = -1\) und \(u_2 = 2\). Polynomdivision und die \(abc\)-Formel liefern nun die beiden weiteren Lösungen \(u_3 = \large\frac {3}{4}\) und \(u_4 = -\large\frac {3}{2}\). Zur Resubstitution sind nun noch die Gleichungen

\(\qquad\cos(x) = -1\)

\(\qquad \cos(x) = 2\)

\(\qquad \cos(x) = \dfrac {3}{4}\)

\(\qquad \cos(x) = - \dfrac {3}{2}\)

zu lösen. Die Gleichung \(\cos(x) = -1\) hat im Bereich zwischen \(0\) und \(2 \pi\) die eindeutige Lösung

\(\qquad x_1 = \pi\)

Die Gleichung \(\cos(x) = 2\) hat keine Lösung, da \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) für alle \(x\). Die Gleichung \(\cos(x) = \large\frac {3}{4}\) hat im Bereich zwischen \(0\) und \(2 \pi\) die beiden Lösungen

\(\qquad x_2 = \arccos\left( \dfrac {3}{4}\right) \approx 0.7227\)

\(\qquad x_3 = 2 \pi - \arccos\left( \dfrac {3}{4}\right) \approx 5.5605 \)

Die Gleichung \(\cos(x) = - \large\frac {3}{2}\) wiederum hat keine Lösung, da \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) für alle \(x\).

Damit haben wir im Bereich zwischen \(0\) und \(2 \pi\) genau die drei Lösungen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Daraus ergeben sich alle Lösungen durch Addition von Vielfachen von \(2 \pi\). Die allgemeine Lösung ist also von der Form

\(\qquad x = x_i + 2 k \cdot \pi \qquad\) für ein \(\,\, k \in \mathbb Z, \, i \in \{1, 2, 3\}\)