Definition Gleichheit, Parallelität, Kollinearität
Vektoren lassen sich also durch ihre Länge, Richtung und Orientierung bestimmen und außerdem auch durch ihr Verhältnis zu anderen Vektoren.
Wir betrachten den Vektor \( \overrightarrow{u}\) in der Abbildung:
\( \overrightarrow{u}\) ist genauso lang wie die Vektoren \( \overrightarrow{v} \) und \(\overrightarrow{w} \), außerdem hat er die gleiche Richtung und Orientierung.
Definition:
Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
\( \overrightarrow{u} \) stimmt außerdem mit dem Vektor \( \overrightarrow{y}\) in der Länge und der Richtung überein, \( \overrightarrow{y}\) hat aber eine andere Orientierung. Der Vektor \( \overrightarrow{x} \) unterscheidet sich von \( \overrightarrow{u}\) und den anderen Vektoren in Länge, Richtung und Orientierung.
Definition:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v} \) und \(\overrightarrow{w} \) heißen parallel, wenn sie in Richtung und Orientierung übereinstimmen. Wir notieren:
\(\qquad\overrightarrow{v} \uparrow \uparrow \overrightarrow{w} \)
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v} \) und \(\overrightarrow{w} \) heißen antiparallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen, aber eine andere Orientierung haben. Wir notieren:
\(\qquad \overrightarrow{v} \uparrow \downarrow \overrightarrow{w} \)
Parallele oder antiparallele Vektoren \(\overrightarrow{v} \) und \(\overrightarrow{w} \) nennt man auch kollinear. Andernfalls heißen sie (linear) unabhängig.
Beispiel:
 Erklärung Lösung und Erläuterung: Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind parallel. Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{w}\) sind antiparallel, genauso wie \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\). Die Vektoren \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sind kollinear. \(\vec{x}\) ist weder parallel noch antiparallel zu \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) und damit sind \(\vec{x}\) und \(\vec{u}\) linear unabhängig. |  |
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