Aufgabe mit Lösung Parallele Vektoren
Die Koordinatendarstellung \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} \right)\) bestimmt auch Richtung und Orientierung eines Vektors.
Denn die Gerade, auf der \(\overrightarrow{v}\) liegt, ist durch die Punkte \((0\,|\, 0)\) und \((v_1 \,|\, v_2)\) schon eindeutig festgelegt, wodurch die Richtung von \(\overrightarrow{v}\) bestimmt wird. Die Orientierung von \(\overrightarrow{v}\) hängt dann davon ab, auf welcher Seite von \((0\,|\, 0)\) der Punkt \((v_1 \,|\, v_2)\) liegt.
Ist \(v_1 \neq 0\), so ist die Richtung von \(\overrightarrow{v}\) insbesondere bestimmt durch \(\dfrac {v_2}{v_1}\).
Merke:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \end{matrix} \right)\) mit \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\) sind genau dann parallel, wenn es ein \(r \geq 0\) gibt mit
\(\qquad\begin{array} {l c l} w_1 &=& r \cdot v_1 \\ w_2 &=& r \cdot v_2 \end{array}\)
und sie sind genau dann antiparallel wenn es ein \(r \leq 0\) gibt mit
\(\qquad\begin{array} {l c l} w_1 &=& r \cdot v_1 \\ w_2 &=& r \cdot v_2 \end{array}\)
Beispiel:
Wir betrachten die vier Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\)
\(\qquad\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\)
\( \overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{v}\) sind parallel (mit \(r = \frac {3}{2}\)).
\(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{w}\) sind antiparallel (mit \(r = - \frac {1}{2}\)).
Damit sind auch \(\overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{w}\) antiparallel.
\(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{w}\) sind antiparallel (mit \(r = - \frac {1}{2}\)).
Damit sind auch \(\overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{w}\) antiparallel.
Dagegen sind \(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{x}\) nicht kollinear, denn offensichtlich gibt es keine Zahl \(r\) die gleichzeitig \(1 = r \cdot 4\) und \(1 = r \cdot 6\) erfüllt.
Folglich sind auch \(\overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{x}\) bzw. \(\overrightarrow{w}\) und \( \overrightarrow{x}\) nicht kollinear.
\(\enspace\)