3-dimensionaler Raum Vektoren im Raum
Ein Vektor wird durch unendlich viele Pfeile dargestellt, die wir im Raum beliebig parallel hin und her verschieben können.
In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage der Vektoren \(\overrightarrow{u} \), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w} \) und \(\overrightarrow{r} \) im Raum betrachten. Ziehen Sie dafür mit gedrückter Maustaste über die Abbildung. Mit dem Scrollrad können Sie die Ansicht vergrößern oder verkleinern. Die vier Vektoren haben die gleiche Länge, die gleiche Richtung und Orientierung, sie sind also gleich:
Einer dieser vier Vektoren, nämlich \(\overrightarrow{r}\), beginnt im Koordinatenursprung. Daher ist er durch seinen Endpunkt, hier den Punkt \(P = ( 3 \, \vert \, 2 \, \vert \, 1)\), schon eindeutig bestimmt. Wie im ebenen Fall sind durch diese drei Koordinaten die Vektoren \(\overrightarrow{r} \), \(\overrightarrow{u} \), \(\overrightarrow{v} \) und \(\overrightarrow{w} \) schon festgelegt (als Vektoren, nicht als Pfeile im Raum).
Definition:
Ist \(\overrightarrow{v} \) ein beliebiger Vektor, so verschieben wir den Pfeil von \(\overrightarrow{v} \) so, dass sein Anfangspunkt im Koordinatenursprung \((0 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0) \) liegt. Ist dann \(P = ( x \, \vert \, y \, \vert \, z)\) der Endpunkt von \(\overrightarrow{v} \), so heißt
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)
die Koordinatendarstellung von \(\overrightarrow{v} \).
Beispiel:
Der Nullvektor hat die Koordinatendarstellung
\(\qquad\overrightarrow{0} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\)
und den Betrag \(0\).
\(\enspace\)