Vektoren im Raum Koordinaten von Vektoren
Für den Verbindungsvektor von zwei Punkten gilt:
Merke:
Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) der beiden Punkte \(P = (p_1 \, \vert \, p_2 \, \vert \, p_3)\) und \(Q = (q_1 \, \vert \, q_2 \, \vert \, q_3)\) hat die Koordinatendarstellung
\(\qquad\overrightarrow{PQ} = \left( \begin{matrix} q_1 -p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{matrix} \right)\)
Wie schon in der Ebene kann auch im Raum die Gleichheit von zwei Vektoren sehr viel einfacher mit der Koordinatendarstellung überprüft werden, als mit der geometrischen Darstellung:
Merke:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right)\) sind genau dann gleich, wenn
\(w_1 = v_1\), \(w_2 = v_2\) und \(w_3 = v_3\).
Auch im Raum bestimmt die Koordinatendarstellung \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\) Richtung und Orientierung eines Vektors.
Die Gerade, auf der \(\overrightarrow{v}\) liegt, ist durch die Punkte \((0 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\) und \( (v_1 \, \vert \, v_2 \, \vert \, v_3)\) schon eindeutig bestimmt. Damit ist auch die Richtung von \(\overrightarrow{v}\) bereits festgelegt. Die Orientierung hängt nur davon ab, auf welcher Seite von \((0 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\) (auf dieser Geraden) der Punkt \( (v_1 \, \vert \, v_2 \, \vert \, v_3)\) liegt.
Da zwei Vektoren parallel sind, wenn sie in Richtung und Orientierung übereinstimmen und antiparallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen, aber entgegengesetzte Orientierung haben, erhalten wir daraus eine einfache Charakterisierung dieser Eigenschaften:
Merke:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right)\) mit \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\) sind genau dann parallel, wenn es ein \(r \geq 0\) gibt mit
\(\qquad\begin{array} {l c l} w_1 &=& r \cdot v_1 \\ w_2 &=& r \cdot v_2 \\ w_3 & = & r \cdot v_3 \end{array}\)
Sie sind genau dann antiparallel, wenn es ein \(r \leq 0\) gibt mit
\(\qquad\begin{array} {l c l} w_1 &=& r \cdot v_1 \\ w_2 &=& r \cdot v_2 \\ w_3 & = & r \cdot v_3 \end{array}\)
Erklärung Lösung: \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{w}\) sind kollinear. \(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{w}\) sind antiparallel. \(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{x}\) sind nicht kollinear. Erläuterung: \(\overrightarrow{u}\) ist parallel zu \( \overrightarrow{v}\) (mit \(r = \frac {3}{2}\)) \(\overrightarrow{u}\) ist antiparallel zu \( \overrightarrow{w}\) (mit \(r = - \frac {1}{2}\)). \(\overrightarrow{v}\) ist antiparallel zu \(\overrightarrow{w}\) (mit \(r=-3\)). Damit sind \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) kollinear. Dagegen sind \(\overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{x}\) nicht kollinear, denn offensichtlich gibt es keine Zahl \(r\) die gleichzeitig \(1 = r \cdot 4\), \(1 = r \cdot 6\) und \(1 = r \cdot 2\) erfüllt.  |  |
\(\enspace\)