Koordinaten von Vektoren Betrag eines Vektors
Der Betrag \(|\overrightarrow{v}|\) eines Vektors \(\overrightarrow{v}\) – also die Länge des Pfeils, der den Vektor darstellt – lässt sich, wie in der Ebene, über seine Koordinaten berechnen.
Beispiel:
Wir betrachten den Vektor
\(\qquad\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right)\)
Die Länge des Vektors berechnet sich dann (durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras) wie folgt:
\(\qquad| \overrightarrow{u} | = \sqrt{1^2 +2^2 +2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
Merke:
Der Betrag \(|\overrightarrow{v}|\) eines Vektors \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right) \) berechnet sich nach der Formel
\(\qquad|\overrightarrow{v}| = \sqrt {v_1^2 + v_2^2+ v_3^2}\)
Erklärung Lösung: \(|\overrightarrow{w} | = 5\) Erläuterung: \(| \overrightarrow{w} | = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) |  |
\(\enspace\)