Verbindungsvektor Skalarmultiplikation
Vektoren können mit einer reellen Zahl multipliziert werden. Wir sprechen dann von Skalarmultiplikation. Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar können sich der Betrag und die Orientierung des Vektors ändern, nicht aber die Richtung.
Beispiel Ebene:
In der Animation können Sie sehen, wie sich die Längen der Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right)\)
ändern, wenn sie mit einer reellen Zahl \(r\) multipliziert werden. Modifizieren Sie dafür am Schieberegler den Wert von \(r\). Sie sehen auch, dass sich die Orientierung der Vektoren ändert, wenn das Vorzeichen von \(r\) negativ ist.
Durch Skalarmultiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl \(r\) verändert sich der Vektor – abhängig von \(r\) – wie folgt:
- Für \(r>1\) wird der Vektor gestreckt.
- Für \(0<r<1\) wird der Vektor gestaucht.
- Für \(r=1\) bleibt der Vektor unverändert.
- Für \(-1<r<0\) wird der Vektor gestaucht und seine Orientierung wird umgekehrt.
- Für \(r=-1\) wird nur die Orientierung des Vektors umgekehrt. Man erhält also den inversen Vektor.
- Für \(r<-1\) wird der Vektor gestreckt und seine Orientierung wird umgekehrt.
- Für \(r=0\) erhält man den Nullvektor.
Definition:
Durch Skalarmultiplikation eines Vektors \(\overrightarrow {v}\) mit einer reellen Zahl \(r\) erhält man den Vektor \(r \cdot \overrightarrow {v}\), der wie folgt definiert ist:
Ist \(r > 0\), so ist \(r \cdot \overrightarrow {v}\) der Vektor, der mit \(\overrightarrow {v}\) in Richtung und Orientierung übereinstimmt und dessen Betrag das \(r\)–fache des Betrags von \(\overrightarrow {v}\) ist.
Ist \(r < 0\), so ist \(r \cdot \overrightarrow {v}\) der Vektor, der mit \(\overrightarrow {v}\) in der Richtung übereinstimmt, eine entgegengesetzte Orientierung hat und dessen Betrag das \(\vert r \vert\)–fache des Betrags von \(\overrightarrow {v}\) ist.
Ist \(r = 0\), so ist \(r \cdot \overrightarrow {v}\) der Nullvektor.
Merke:
Die Richtung eines Vektors wird durch die Multiplikation mit einer Zahl nicht geändert. \(r \cdot \overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{v}\) sind immer kollineare Vektoren.
Produktoperationen eines Vektors mit einem anderen Vektor werden im Lernmodul "Rechnen mit Vektoren" behandelt.
\(\enspace\)