Skalarmultiplikation 3D Kollineare Vektoren
Aus der komponentenweisen Beschreibung der Skalarmultiplikation und der komponentenweisen Charakterisierung von (ebenen oder räumlichen) parallelen und antiparallelen Vektoren erhalten wir eine sehr einfache Beschreibung der Kollinearität:
Merke:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) mit \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0} \)sind genau dann kollinear, wenn es eine reelle Zahl \(r\) gibt mit \(\overrightarrow{w} = r \cdot \overrightarrow{v} \).
Beispiel:
Die beiden Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 2.5 \end{matrix} \right) \) und \( \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -6 \\ 2 \\ - 5 \end{matrix} \right)\)
sind kollinear, denn \(\overrightarrow{w} = (-2) \cdot \overrightarrow{v}\).
Diese Merkregel führt zu einer weiteren Beschreibung der Kollinearität von zwei Vektoren:
Merke:
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) sind genau dann kollinear, wenn es reelle Zahlen \(r\) und \(s\) mit
\(\qquad r \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}\)
gibt, wobei mindestens eine der beiden Zahlen \(r\) und \(s\) von \(0\) verschieden ist.
\(\enspace\)