In der Mechanik ist es oft wichtig, die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten in einem bestimmten Verhältnis zu teilen, etwa bei der Bestimmung von Schwerpunkten von Systemen von Massepunkten. Auch hier kann die Vektorrechnung helfen.

Gesucht ist der Punkt \(T\), der die Strecke zwischen den beiden Punkten \(P = (1\, \vert \, 5)\) und \(Q = (7 \, \vert \, 2)\) im Verhältnis \(2 : 1\) teilt, also der Punkt \(T\) auf der Strecke \(\overline{PQ}\), sodass \(\overline{PT}\) doppelt so lang wie \(\overline{TQ}\) ist.

In der Animation können Sie den Punkt \(T\) auf dem Vektor verschieben und durch Anklicken des Kontrollkästchens die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{PT}\) und \(\overrightarrow{TQ}\) ein- und ausblenden:

Die Tatsache, dass \(T\) auf der Verbindungslinie von \(P\) und \(Q\) liegt, bedeutet, dass die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{PT}\) und \(\overrightarrow{TQ}\) parallel zu \(\overrightarrow{PQ}\) sind, also

\(\qquad\overrightarrow{PT} = r \cdot  \overrightarrow{PQ}\)   und   \(\overrightarrow{TQ} = s \cdot \overrightarrow{PQ}\)

mit \(r > 0\), \(s > 0\). Die Tatsache, dass \(T\) die Verbindungslinie von \(P\) und \(Q\) im Verhältnis \(2 : 1\) teilt, bedeutet, dass \(\overrightarrow{PT}\) doppelt so lang ist wie \(\overrightarrow{TQ}\), dass also \(r = 2 \cdot s\). Außerdem muss aber noch

\(\qquad\overrightarrow{PT} + \overrightarrow{TQ} = \overrightarrow{PQ}\)

gelten. Hieraus können wir wegen

\(\qquad\overrightarrow{PT}+\overrightarrow{TQ} = r\cdot\overrightarrow{PQ} + s\cdot\overrightarrow{PQ} = (r+s)\cdot\overrightarrow{PQ}\)

ablesen, dass \(r+s = 1\). Das bedeutet aber (wegen \(r = 2 \cdot s\)), dass \(s = \frac {1}{3}\) und \(r = \frac {2}{3}\). Damit erhalten wir

\(\qquad\overrightarrow{PT} = \dfrac {2}{3} \cdot \overrightarrow{PQ} = \dfrac {2}{3} \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right)  \) 

Weil aber andererseits

\(\qquad\overrightarrow{PT} = \overrightarrow{r}(T) - \overrightarrow{r}(P)\)

ist \(T\) der Punkt mit Ortsvektor

\(\qquad\overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{r}(P) + \overrightarrow{PT} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right)\)

also gilt

\(\qquad T = ( 5 \, \vert \, 3 ) \)

Diese Berechnungen lassen sich auch allgemein machen und führen zur folgenden Aussage: