\( \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}\) ist parallel oder antiparallel zu \( \overrightarrow{v} \).

Da \( \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\) ist, und da \( \overrightarrow{v} \) und \( \overrightarrow{w} \) parallel sind, gibt es ein \(r \geq 0\) mit

\( \qquad \overrightarrow{w} = r \cdot \overrightarrow{v} \)

und damit gilt

\( \qquad \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = (1 - r) \cdot \overrightarrow{v} \)

Also ist \(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}\) ein Vielfaches von \( \overrightarrow{v} \) und damit kollinear, also parallel oder antiparallel, zu \(\overrightarrow{v}\). Dabei können beide Fälle auftreten. Ist nämlich \(r \leq 1\), so ist \(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}\) parallel zu \(\overrightarrow{v} \) und ist \(r\geq 1\), so ist \(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}\) antiparallel zu \(\overrightarrow{v} \). (Im Fall \(r=1\) gilt sowohl Parallelität als auch Antiparallelität, da der Nullvektor zu allen Vektoren parallel und antiparallel ist.)

Diese beiden Fälle können ganz konkret an folgenden Beispielen beobachtet werden:

Für

\( \qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \dfrac {1}{2} \cdot \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \)

ist der Vektor

\( \qquad \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \)

parallel zu \(\overrightarrow{v}\), wohingegen für

\( \qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \dfrac {3}{2} \cdot \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \right) \)

der Vektor

\( \qquad \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \)

antiparallel zu \(\overrightarrow{v}\) ist.