Aufgabe 2 Aufgabe 3
Auf einen Körper \(K\) wirkt eine Gewichtskraft \(\overrightarrow{G}\) mit Betrag \(80 \, \mathbf{N}\) (Newton) senkrecht nach unten. Ferner greifen zwei Kräfte \(\overrightarrow{F_1}\) und \(\overrightarrow{F_2}\) an dem Körper an. Dabei ist \(\overrightarrow{F_1}\) parallel zum Vektor \(\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{F_2}\) parallel zum Vektor \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\).  Bestimmen Sie \( \overrightarrow{F_1}\) und \(\overrightarrow{F_2}\) so, dass das System im Gleichgewicht ist (dass also in Summe keine Kraft an dem Körper angreift). Erklärung Lösung: \(\overrightarrow{F_1} = \left( \begin{matrix} -40 \\ 40 \end{matrix} \right) \, \mathbf{N}\) und \(\overrightarrow{F_2} = \left( \begin{matrix} 40 \\ 40 \end{matrix} \right) \, \mathbf{N}\) Erläuterung: Da \(\overrightarrow{G} \) senkrecht nach unten wirkt, haben wir zunächst \(\qquad\overrightarrow{G} = \left( \begin{matrix} \, 0 \\ -80 \end{matrix} \right)\) Da \(\overrightarrow{F_1}\) parallel zum Vektor \(\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{F_2}\) parallel zum Vektor \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\) ist, haben wir außerdem \(\qquad\overrightarrow{F_1} = r \cdot \left( \begin{matrix} -1 \\ \,1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -r \\ \,r \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{F_2} = s \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} s \\ s \end{matrix} \right)\) mit Zahlen \(r > 0\) und \(s > 0\). Schließlich ist noch gegeben, dass insgesamt keine Kraft angreift, dass also \(\qquad\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{G} = \overrightarrow{0}\) also \(\qquad\left( \begin{matrix} -r \\ r \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} s \\ s \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -80 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\) bzw. (nach den Regeln zur Vektoraddition) \(\qquad\left( \begin{matrix} -r+s \\ r+s-80 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \) Da Gleichheit von Vektoren komponentenweise geprüft werden kann, bedeutet das \(\qquad\begin{array} {r c r c r c l} -r & + & s & & & = & 0 \\ r & + & s & - & 80 & = & 0 \end{array} \) Die erste Gleichung zeigt, dass \(s = r\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite ein, so wird diese zu \(\qquad 2 \cdot r - 80 = 0\) woraus nur \(r = 40\) folgt (also auch \(s = 40\)). Damit erhalten wir \(\qquad\overrightarrow{F_1} = \left( \begin{matrix} -40 \\ \,40 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{F_2} = \left( \begin{matrix} 40 \\ 40 \end{matrix} \right)\) |  |
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