\( T = (5.50\, \vert \, 1.75 \, \vert \, 1.25) \)

Wir gehen vor wie bei der Bestimmung von Teilungspunkten:

Zunächst berechnen wir die Koordinatendarstellung von \(\overrightarrow{PQ}\) als Differenz der Ortsvektoren von End- und Anfangspunkt, also:

\(\qquad\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{r}(Q)-\overrightarrow{r}(P)=\begin{pmatrix}7\\4\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7-3\\4+2\\-1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\6\\-6\end{pmatrix}\)

Da nun \(T\) auf der Verbindungslinie von \(P\) und \(Q\) liegt, sind die Vektoren  \(\overrightarrow{PT}\) und \(\overrightarrow{TQ}\) parallel zum Vektor \(\overrightarrow{PQ}\), sodass es also Zahlen \(r > 0\) und \(s > 0\) gibt mit

\(\qquad\overrightarrow{PT} = r \cdot \overrightarrow{PQ}, \quad \overrightarrow{TQ} = s \cdot \overrightarrow{PQ} \)

Außerdem wissen wir noch, dass 

\(\qquad\overrightarrow{PT} + \overrightarrow{TQ}  = \overrightarrow{PQ}\)

(also \(r+s = 1)\), und dass

\(\qquad \dfrac {\vert \overrightarrow{PT} \vert}{\vert \overrightarrow{TQ}\vert } = \dfrac {r\cdot\vert\overrightarrow{PQ}\vert}{s\cdot\vert\overrightarrow{PQ}\vert} = \dfrac {r}{s} = \dfrac {5}{3}\)

Damit folgt \(r=\dfrac{5}{3}s\), woraus wir wegen \(r+s=1\) nun \(r=\dfrac{5}{8}\) und \(s=\dfrac{3}{8}\) erhalten. Dies können wir in die Darstellung von \(\overrightarrow{PT}\) einsetzen und erhalten so mit der Koordinatendarstellung von \(\overrightarrow{PQ}\):

\(\qquad \overrightarrow{PT} = \dfrac {5}{8} \cdot \overrightarrow{PQ} = \dfrac {5}{8} \cdot \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ -6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2.50 \\ 3.75 \\ - 3.75 \end{matrix} \right) \)

Damit folgt für den Ortsvektor von \(T\):

\(\qquad \overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{r}(P) + \overrightarrow{PT} =  \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2.50 \\ 3.75 \\ - 3.75 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5.50 \\ 1.75 \\ 1.25 \end{matrix} \right)\)

Es gilt also:

\(\qquad T = (5.50\, \vert \, 1.75 \, \vert \, 1.25) \)