Einleitung in das Themengebiet Abstände
Wir betrachten zwei Punkte \(P\) und \(Q\) (in der Ebene oder im Raum). Die Bestimmung ihres Abstandes ist die erste Anwendung, bei der Vektoren und ihre Eigenschaften benutzt werden können.
Definition:
Der Abstand \(d(P,Q)\) ist die Länge des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{P Q}\) der beiden Punkte \(P\) und \(Q\),
\(\qquad d(P,Q) = \vert \overrightarrow{P Q} \vert\)
Beispiel Ebene:
Wir betrachten die beiden Punkte \(P = (1 \, \vert \,{-3})\) und \(Q = (6 \, \vert \, 9)\). Ihr Verbindungsvektor ist gegeben durch
\(\qquad \overrightarrow{P Q} = \left( \begin{matrix} 6 - 1 \\ 9 - (-3) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5 \\ 12 \end{matrix} \right)\)
Damit ist ihr Abstand
\(\qquad d(P,Q) = \vert \overrightarrow{P Q} \vert = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\)
Beispiel 3D:
Wir betrachten die beiden Punkte \(P = (4 \, \vert \,{-1} \, \vert \, 2) \) und \(Q = (1 \, \vert \, 3 \, \vert \, 1)\). Ihr Verbindungsvektor ist gegeben durch
\(\qquad \overrightarrow{P Q} = \left( \begin{matrix} 1-4 \\ 3 - (-1) \\ 1 -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3 \\ \,4 \\ -1 \end{matrix} \right)\)
Damit ist ihr Abstand
\(\qquad d(P,Q) = \vert \overrightarrow{P Q} \vert = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \)
In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage von \(P\) und \(Q\) im Raum betrachten. Ziehen Sie dafür mit gedrückter Maustaste über die Abbildung. Mit dem Scrollrad können Sie die Ansicht vergrößern oder verkleinern:
Merke:
Sind \(P = (p_1 \, \vert \, p_2)\) und \(Q = (q_1 \, \vert \, q_2)\) zwei Punkte in der Ebene, so gilt für ihren Abstand
\(\qquad d(P,Q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}\)
Sind \(P = (p_1 \, \vert \, p_2 \, \vert \, p_3)\) und \(Q = (q_1 \, \vert \, q_2 \, \vert \, q_3)\) zwei Punkte im Raum, so gilt für ihren Abstand
\(\qquad d(P,Q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}\)
Um uns die vielen Fallunterscheidungen zu ersparen, werden wir für den Rest dieses Lernmoduls nur noch im Raum arbeiten. Die Ebene betrachten wir (als \(x\)-\(y\)-Ebene) als Teil des Raums, und Punkte in der Ebene werden als Punkte im Raum aufgefasst (mit \(z\)-Komponente \(0\)). Obige Formel zeigt, dass sich dadurch die Abstände nicht ändern.
Erklärung Lösung: Falsch ist die Aussage: Für drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) gilt immer \(d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R) \). Erläuterung: Es gibt Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\), für die \(d(P,R) < d(P,Q) + d(Q,R) \) ist, zum Beispiel für die Punkte \(P = ( 0 \, \vert \, 0)\), \(Q = (1 \, \vert \, 1)\) und \( R = (2\, \vert \, 0) \). Hierfür ist \( \qquad d(P,R) = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2\) aber \( \qquad d(P,Q) + d(Q,R) = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} + \sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2} = 2 \cdot \sqrt{2} \) und \(2 \cdot \sqrt{2} > 2\). Richtig ist jedoch die sogenannte Dreiecksungleichung, die bereits im Kurs "Geometrie" behandelt wurde: Für drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) gilt immer \(d(P,R) \leq d(P,Q) + d(Q,R) \). Alle anderen Aussagen sind richtig: Da die Länge eines Vektors niemals negativ ist, gilt für beliebige Punkte \(P\) und \(Q\) \( \qquad d(P,Q) = \vert \overrightarrow{PQ} \vert \geq 0 \) und \(d(P,Q) = 0 \) gilt genau dann, wenn \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{0}\), also wenn \(P = Q\). Außerdem gilt: \( \qquad d(P,Q) = \vert \overrightarrow{PQ} \vert = \vert -\overrightarrow{QP} \vert = \vert \overrightarrow{QP} \vert = d(Q,P) \) |  |
\(\enspace\)