Abstände Geraden
Anschaulich ist jedem klar, was unter einer Geraden durch zwei Punkte \(P\) und \(Q\) zu verstehen ist. Mit Koordinaten lässt sich das auch sehr gut beschreiben.
Definition:
Die Gerade \(g = g_{P,Q}\) durch die beiden Punkte \(P = (p_1 \, \vert \, p_2 \, \vert \, p_3)\) und \(Q = (q_1 \, \vert \, q_2 \, \vert \, q_3)\)
ist die Menge
\(\qquad g_{P,Q} = \left\{ \left( p_1+s \cdot (q_1-p_1)\, \vert \, p_2+s \cdot (q_2-p_2)\, \vert \, p_3+s \cdot (q_3-p_3) \right) \, \big\vert \, \, s \in \mathbb R \right\}\)
Beispiel 3D:
Die Gerade durch die beiden Punkte \(P = (-\!1 \, \vert \, 3 \, \vert \, 2)\) und \(Q = (3\,\vert \!-\!2 \, \vert \, 1)\)
besteht aus allen Punkten der Form \(T = (-\!1 + 4 \cdot s \,\vert\,3 -5 \cdot s \, \vert \, 2 - s)\) mit \(s \in \mathbb R\).
Sie ist also die Menge
\(\qquad g_{P,Q} = \left\{ (-\!1 + 4 \cdot s \,\vert\,3 -5 \cdot s \, \vert \, 2 - s) \, \big\vert \,\, s \in \mathbb R \right\}\)
\(\qquad g_{P,Q} = \left\{ (-\!1 + 4 \cdot s \,\vert\,3 -5 \cdot s \, \vert \, 2 - s) \, \big\vert \,\, s \in \mathbb R \right\}\)
In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage von \(P\), \(Q\) und \(G\) im Raum betrachten:
\(\enspace\)