Geraden lassen sich sehr gut mit Vektoren beschreiben. Dazu betrachten wir die Gerade \(g = g_{P,Q}\) durch die beiden Punkte \(P = (p_1 \, \vert \, p_2 \, \vert \, p_3)\) und \(Q = (q_1 \, \vert \, q_2 \, \vert \, q_3)\) in der dreidimensionalen Darstellung:

Der Ortsvektor \(\overrightarrow{r}(P)\) von \(P\) und der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) von \(P\) und \(Q\) haben die Koordinatendarstellung

\(\qquad \overrightarrow{r}(P)  = \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{PQ} =  \left( \begin{matrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{matrix} \right)\)

Ist nun \(T = (t_1 \, \vert \, t_2 \, \vert \, t_3 )\) ein Punkt auf der Geraden \(g_{P,Q}\), so gibt es eine Zahl \(s \in \mathbb R\) mit

\(\qquad (t_1 \, \vert \, t_2 \, \vert t_3) = \left( p_1 + s \cdot (q_1-p_1) \, \vert\, p_2 + s \cdot (q_2 -p_2) \, \vert \, p_3 + s \cdot (q_3-p_3) \right) \)

Damit schreibt sich der Ortsvektor von \(T\) als

\(\qquad \overrightarrow{r}(T)  = \left( \begin{matrix} p_1 + s \cdot (q_1-p_1) \\ p_2 + s \cdot (q_2 -p_2) \\ p_3 + s \cdot (q_3 - p_3) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{r}(P) + s \cdot \overrightarrow{PQ}\)

Jeder Punkt \(T\) auf \(g_{P,Q}\) hat also einen Ortsvektor der Form \(\overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{r}(P) + s \cdot \overrightarrow{PQ}\) für eine geeignete Zahl \(s \in \mathbb R\).

Umgekehrt ist aber auch jeder Punkt \(T\), dessen Ortsvektor sich schreiben lässt als \(\overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{r}(P) + s \cdot \overrightarrow{PQ} \) für ein \(s \in \mathbb R\) ein Punkt der Gerade \(g_{P,Q}\).